1. Énoncé du problème : On doit déterminer la véracité des affirmations pour l'exercice 1 et choisir la bonne réponse pour chaque question de l'exercice 2 concernant des polynômes du second degré. --- EXERCICE 1 : 1. "Tout polynôme est un polynôme du second degré." Cette affirmation est fausse car le degré d'un polynôme peut être n'importe quel entier naturel, pas forcément 2. Réponse : F 2. "Le polynôme $P(x) = x^2 + x + 4x + 4x$ est un polynôme du second degré." Simplifions : $$P(x) = x^2 + x + 4x + 4x = x^2 + 9x$$ Le polynôme est de degré 2 (la plus haute puissance de $x$ est 2). Réponse : V 3. "Si le polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) admet une racine double alors cette racine a pour formule $x_0 = -\frac{b}{2a}$." Par définition, la racine double d'un polynôme de degré 2 est donnée par : $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$ Réponse : V 4. "Le polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) a pour discriminant $\Delta = -b^2 + 4ac$." La formule correcte du discriminant est : $$\Delta = b^2 - 4ac$$ Donc cette affirmation est fausse. Réponse : F --- EXERCICE 2 : 1. L'équation $f(x) = 3x^2 + 4x + 1$. Calculons les racines et le signe du trinôme : Discriminant : $$\Delta = 4^2 - 4 \times 3 \times 1 = 16 - 12 = 4$$ Racines : $$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{-4 - 2}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Le coefficient $a = 3 > 0$, la parabole est tournée vers le haut. Tableau de signes de $f$ : - Pour $x < x_1 = -1$, $f(x) > 0$ - Entre $-1$ et $-1/3$, $f(x) < 0$ - Pour $x > -1/3$, $f(x) > 0$ Les intervalles sont -∞, -1, -1/3, +∞, avec signes +, -, +. Donc le tableau correspondant est proche de celui de la réponse a), sauf que la racine - 3/4 donnée dans l'énoncé semble erronée. Toutefois, dans les choix, seul le tableau a) a le signe +, -, +. Réponse : 1 - a 2. $g(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a = -\frac{1}{2}$, $b=1$, $\Delta=8$. Les solutions sont données par : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{8}}{2 \times (-1/2)} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{-1} = 1 \mp 2\sqrt{2}$$ Donc : $$x_1 = 1 - 2\sqrt{2}$$ $$x_2 = 1 + 2\sqrt{2}$$ Réponse correcte : 2 - b 3. Résoudre l'inéquation : $$x^2 - 2x \geq 3$$ Réécrivons : $$x^2 - 2x - 3 \geq 0$$ Factorisation : $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$ D'où l'inéquation devient : $$(x - 3)(x + 1) \geq 0$$ Le produit est positif si les deux facteurs sont positifs ou négatifs simultanément. - $(x - 3)(x + 1) \geq 0$ sur les intervalles : $$]-\infty,-1] \cup [3,+\infty[ $$ Réponse correcte : 3 - a