1. Déterminer le degré du polynôme $P(X) = \prod_{k=1}^n (1 - X^2)^{k-1}$. Le degré de chaque facteur $(1 - X^2)^{k-1}$ est $2(k-1)$. Donc, le degré total est la somme des degrés : $$\sum_{k=1}^n 2(k-1) = 2 \sum_{k=1}^n (k-1) = 2 \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$$ Réponse : le degré de $P$ est $n(n-1)$. --- 2. Effectuer la division de $A(X) = X + 1$ par $B(X) = -X + X^3 + 1$ à l'ordre 3 selon les puissances croissantes. On cherche $Q(X)$ et $R(X)$ tels que $A = BQ + R$ avec $ ext{deg}(R) < ext{deg}(B)$. Division à l'ordre 3 (puissances croissantes) : $B(X) = 1 - X + X^3$ On écrit $Q(X) = q_0 + q_1 X + q_2 X^2 + \cdots$ On a : $$A = BQ + R$$ À l'ordre 3, on obtient : $Q(X) = 1 + X + X^2$ $R(X) = 0$ --- 3. Trouver $\mathrm{PGCD}(A,B)$ sachant que $B = AQ$. Puisque $B = AQ$, $A$ divise $B$, donc $\mathrm{PGCD}(A,B) = A$. --- Exercice 2 : 1. Vérifier que 1 est racine de $P(X) = X^3 - 3X^2 - 6X + 8$. $P(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ Donc 1 est racine. 2. Trouver $a,b,c$ tels que $P(X) = (X-1)(aX^2 + bX + c)$. Division de $P$ par $(X-1)$ donne : $a=1$, $b=-2$, $c=-8$ Donc $P(X) = (X-1)(X^2 - 2X - 8)$. 3. Factoriser $P$ dans $\mathbb{C}[X]$. Factoriser $X^2 - 2X - 8$ : Racines : $X = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = 1 \pm 3$ Donc racines $4$ et $-2$. $P(X) = (X-1)(X-4)(X+2)$. --- Partie II : 1. Division euclidienne de $A(X) = 2X^4 - 5X^3 + 3X - 1$ par $B(X) = X^2 + 2X - 1$. Quotient : $Q(X) = 2X^2 - 9X + 21$ Reste : $R(X) = -39X + 20$ 2. Conclusion : $A = BQ + R$ avec $ ext{deg}(R) < ext{deg}(B)$. --- Partie III : Calcul de $\mathrm{PGCD}(S,T)$ avec $S(X) = X^3 + X^2 - X - 1$ et $T(X) = X^2 - 1$. $T(X) = (X-1)(X+1)$ Diviser $S$ par $T$ : $S = T(X+1) + 0$ Donc $\mathrm{PGCD}(S,T) = T = X^2 - 1$.