1. Énonçons le problème : On cherche le polynôme caractéristique de la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$. 2. Rappel : Le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ est $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ où $I$ est la matrice identité. 3. Calculons $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}$. 4. Trouvons son déterminant : $$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \times \det \begin{pmatrix} -\lambda & 3 \\ -1 & 3-\lambda \end{pmatrix} - 0 + 0$$ 5. Calculons le mineur : $$\det \begin{pmatrix} -\lambda & 3 \\ -1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(3-\lambda) - 3(-1) = -3\lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 - 3\lambda + 3$$ 6. Donc : $$p(\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 3)$$ C'est le polynôme caractéristique demandé.