1. Problema: Calcular el ingreso promedio por período dado el ingreso total $$I(x)=6x^4-5x^3+2x^2 - x +4$$ y el período $$x+1$$ años. 2. Para encontrar el ingreso promedio por período se divide $$I(x)$$ entre $$x+1$$. 3. División de polinomios: $$\frac{6x^4-5x^3+2x^2 - x +4}{x + 1}$$ utilizando división sintética. 4. Coeficientes de $$I(x)$$: 6, -5, 2, -1, 4. 5. Divisor: raíz $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$. 6. Síntesis: Multiplicamos y sumamos: - Empezamos con 6. - $$6 \times (-1) = -6$$; $$-5 + (-6) = -11$$ - $$-11 \times (-1) = 11$$; $$2 + 11 = 13$$ - $$13 \times (-1) = -13$$; $$-1 + (-13) = -14$$ - $$-14 \times (-1) = 14$$; $$4 + 14 = 18$$ (Residuo) 7. Cociente: $$6x^3 - 11x^2 + 13x -14$$, residuo $$18$$. 8. Por tanto, ingreso promedio por período: $$6x^3 - 11x^2 + 13x -14 + \frac{18}{x+1}$$. --- 9. Problema: Dividir el cemento $$C(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$$ entre $$x + 1$$ usando regla de Ruffini para hallar número de bodegas llenas y restante. 10. Divisor: $$x + 1=0 \Rightarrow x = -1$$. 11. Coeficientes: 1, 3, -1, -3. 12. Síntesis: - 1 - $$1 \times (-1) = -1$$; $$3 + (-1) = 2$$ - $$2 \times (-1) = -2$$; $$-1 + (-2) = -3$$ - $$-3 \times (-1) = 3$$; $$-3 + 3 = 0$$ Residuo 0. 13. Cociente: $$x^2 + 2x -3$$ 14. Factorizamos $$x^2 + 2x -3 = (x + 3)(x - 1)$$. 15. Número de bodegas llenas: valor entero resultante $$x^2 + 2x - 3$$ y residuo 0 unidades (todo cemento repartido). --- 16. Problema: Determinar divisiones exactas aplicando Teorema del Residuo. 17. a) Dividir $$x^2 - 5x + 1$$ entre $$x - 2$$, comprobando si residuo es 0. 18. Evaluamos polinomio en $$x=2$$: $$2^2 - 5(2) + 1 = 4 -10 +1 = -5 \neq 0$$, NO es división exacta. 19. b) Dividir $$x^2 + 9$$ entre $$x + 3$$, evaluamos en $$x = -3$$: $$(-3)^2 +9 = 9 + 9 = 18 \neq 0$$, NO exacta. 20. c) Dividir $$x^4 - 2x^3 + x^2 + x -1$$ entre $$x - 1$$, evaluamos en $$x=1$$: $$1 - 2 + 1 + 1 -1 = 0$$. 21. División exacta para c). --- 22. Problema: Factorizar completamente. 23. a) $$-2x^4 + 162 = -2(x^4 - 81) = -2(x^2 - 9)(x^2 + 9) = -2(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$$. 24. b) $$x^5 - 8x^3 + 16x = x(x^4 - 8x^2 + 16)$$. 25. Factorizando dentro del paréntesis como una cuadrática en $$x^2$$: $$(x^2)^2 - 8(x^2) +16 = (x^2 -4)^2 = (x-2)^2(x+2)^2$$. 26. Por lo tanto: $$x(x-2)^2(x+2)^2$$. --- 27. Problema: Condiciones para ganancias $$G = p^2 q - 9 p q$$. 28. Factorizamos: $$G = pq(p - 9)$$. 29. Condiciones: - No ganancias: $$G=0 \Rightarrow pq(p - 9) = 0$$, entonces $$p=0$$ o $$q=0$$ o $$p=9$$. - Ganancias positivas: $$G > 0$$, dadas $$p,q > 0$$ para sentido económico, ocurre si $$p>9$$. - Pérdidas: $$G < 0$$ bajo $$p,q > 0$$ implica $$0 < p < 9$$. --- 30. Problema: Calcular área real de marco cuadrado $$A = (x + 2)^2 - (x - 2)^2$$. 31. Expansión y simplificación: $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ $$(x-2)^2 = x^2 - 4x +4$$ 32. Por tanto: $$A = (x^2 + 4x +4) - (x^2 - 4x +4) = x^2 + 4x +4 - x^2 +4x -4 = 8x$$. 33. Área real en términos de $$x$$ es $$8x$$. --- 34. Problema: Construir tabla de frecuencias para las 40 calificaciones agrupándolas en intervalos. 35. Intervalos sugeridos (en base a mínima 20 y máxima 48): 20-24, 25-29, 30-34, 35-39, 40-44, 45-49 36. Contamos frecuencias: - 20-24: 20,22,21,24 → 4 - 25-29: 25,28,26,29,27,28,25,26,29 → 9 - 30-34: 30,32,30,31,33,34,32,30,34 → 9 - 35-39: 35,38,36,37,36,38,35,39 → 8 - 40-44: 40,42,41,43,44,40 → 6 - 45-49: 45,48,46,47 → 4 --- 37. Problema: Calcular varianza y desviación estándar para 60 alumnos con frecuencias dadas en intervalos. 38. Se calcula el punto medio $$x_i$$ de cada intervalo, ejemplo $$40-49 \to 44.5$$. 39. Se calcula: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N}$$ $$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}\quad \text{(población)}$$ $$s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N-1}\quad \text{(muestra)}$$ 40. Desviación estándar es raíz cuadrada de varianza. --- 41. Problema: Calcular promedio ponderado del estudiante dada la nota y créditos. 42. Datos: - Matemáticas: 4 créditos, nota 3.5 - Física: 3 créditos, nota 4.2 - Química: 3 créditos, nota 3.8 - Programación: 5 créditos, nota 4.5 - Estadística: 2 créditos, nota 3.9 - Ética: 1 crédito, nota 4 43. Promedio ponderado: $$\bar{N} = \frac{\sum \text{créditos} \times \text{nota}}{\sum \text{créditos}} = \frac{4(3.5) + 3(4.2) + 3(3.8) + 5(4.5) + 2(3.9) + 1(4)}{4 + 3 + 3 + 5 + 2 + 1}$$ 44. Calculamos: $$= \frac{14 + 12.6 + 11.4 + 22.5 + 7.8 + 4}{18} = \frac{72.3}{18} = 4.0167$$ 45. Promedio final aproximado: 4.02.