1. **Odredi ostatak pri deljenju polinoma $P(x) = 4x^{20.5} - 20x^{15} - 12x^{17}$ sa polinomom $x + 1$.** - Da bismo odredili ostatak pri deljenju polinoma sa binomom $x + 1$, koristimo pravilo o ostatku koje kaže da je ostatak jednak vrednosti polinoma na mestu korena delitelja, tj. $x = -1$. - Izračunajmo: $$P(-1) = 4(-1)^{20.5} - 20(-1)^{15} - 12(-1)^{17}$$ - Primetimo da $(-1)^{20.5}$ nije definisano u skupu realnih brojeva jer je eksponent decimalni (20.5), što implicira koren iz negativnog broja, pa tako izraz nije realan. Pretpostavimo tipografsku grešku i da je $20,5$ zapravo $20$. - Računamo sa $P(x) = 4x^{20} - 20x^{15} - 12x^{17}$: $$P(-1) = 4(-1)^{20} - 20(-1)^{15} - 12(-1)^{17} = 4(1) - 20(-1) - 12(-1) = 4 + 20 + 12 = 36$$ **Ostatak je $36$.** 2. **Izračunaj $P(x) - Q(x)$ i $Q(x) * P(x)$ gde su polinomi:** $$P(x) = 3x^{2} + 7x - 6x^{3} - 2$$ $$Q(x) = 5x^{3} + 2x^{2} + 7x - 1$$ - Sredimo $P(x)$ po opadajućem stepenu: $$P(x) = -6x^{3} + 3x^{2} + 7x - 2$$ **a) Izračunaj $P(x) - Q(x)$:** $$P(x) - Q(x) = (-6x^{3} + 3x^{2} + 7x - 2) - (5x^{3} + 2x^{2} + 7x - 1)$$ $$= -6x^{3} - 5x^{3} + 3x^{2} - 2x^{2} + 7x - 7x - 2 + 1$$ $$= -11x^{3} + x^{2} + 0x - 1$$ **Dakle, $P(x) - Q(x) = -11x^{3} + x^{2} - 1$.** **b) Izračunaj proizvod $Q(x) * P(x)$:** Pomnožimo polinome: $$Q(x) * P(x) = (5x^{3} + 2x^{2} + 7x - 1)(-6x^{3} + 3x^{2} + 7x - 2)$$ Korak po korak množenje: - $5x^3 * (-6x^3) = -30x^6$ - $5x^3 * 3x^2 = 15x^5$ - $5x^3 * 7x = 35x^4$ - $5x^3 * (-2) = -10x^3$ - $2x^2 * (-6x^3) = -12x^5$ - $2x^2 * 3x^2 = 6x^4$ - $2x^2 * 7x = 14x^3$ - $2x^2 * (-2) = -4x^2$ - $7x * (-6x^3) = -42x^4$ - $7x * 3x^2 = 21x^3$ - $7x * 7x = 49x^2$ - $7x * (-2) = -14x$ - $-1 * (-6x^3) = 6x^3$ - $-1 * 3x^2 = -3x^2$ - $-1 * 7x = -7x$ - $-1 * (-2) = 2$ Saberimo po stepenima: - $x^6: -30x^6$ - $x^5: 15x^5 - 12x^5 = 3x^5$ - $x^4: 35x^4 + 6x^4 - 42x^4 = -1x^4$ - $x^3: -10x^3 + 14x^3 + 21x^3 + 6x^3 = 31x^3$ - $x^2: -4x^2 + 49x^2 - 3x^2 = 42x^2$ - $x^1: -14x - 7x = -21x$ - konstanta: 2 **Dakle, $Q(x) * P(x) = -30x^{6} + 3x^{5} - x^{4} + 31x^{3} + 42x^{2} - 21x + 2$.** 3. **Podjeli polinom $(4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 5)$ sa $(x - 1)$.** Koristimo hornerovu metodu ili dugodeljenje: - Delitelj $x-1$ ima koren $x=1$. Izračunajmo vrednost u $x=1$: $$P(1) = 4(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 5 = 4 - 3 + 3 - 5 = -1$$ Ostatak je $-1$. Dugodeljenje: - $4x^{3} ig/ x = 4x^{2}$ - Množimo i oduzmemo: $(4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 5) - (4x^{2}(x-1)) = (4x^{3} - 3x^{2} + 3x - 5) - (4x^{3} - 4x^{2}) = (0x^{3} + ( -3x^{2} + 4x^{2}) + 3x - 5) = x^{2} + 3x - 5$ - $x^{2} ig/ x = x$ - Množimo i oduzmemo: $(x^{2} + 3x - 5) - (x(x-1)) = (x^{2} + 3x - 5) - (x^{2} - x) = (0x^{2} + 4x - 5)$ - $4x ig/ x = 4$ - Množimo i oduzmemo: $(4x - 5) - 4(x-1) = (4x - 5) - (4x - 4) = 0x - 1 = -1$ Rezultat: $$ ext{Kvocijent} = 4x^{2} + x + 4, ext{ ostatak } = -1$$ 4. **Odredi parametar $m$ tako da je polinom $P(x) = 4x^{3} - 3x^{2} + mx + 7$ deljiv sa $x - 3$.** Polinom je deljiv sa $x-3$ ako i samo ako je $P(3) = 0$. Izračunajmo: $$P(3) = 4(3)^3 - 3(3)^2 + m(3) + 7 = 4 imes 27 - 3 imes 9 + 3m + 7 = 108 - 27 + 3m + 7 = 88 + 3m$$ Za deljivost treba: $$88 + 3m = 0 \\ 3m = -88 \\ m = -\frac{88}{3}$$ 5. **Skupovi:** $$A = ig\\{x \mid x \in \mathbb{N} \wedge x \leq 4 \big\\} = \{1, 2, 3, 4\}$$ $$B = \big\{x \mid x \in \mathbb{Z} \wedge -1 \leq 2x \leq 5 \big\}$$ Rešimo nejednačine za $B$: $$-1 \leq 2x \leq 5 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$$ Pošto je $x \in \mathbb{Z}$, vrednosti $x$ su $$x \in \{-0, -1, 0, 1, 2\}$$ Ali $-1/2$ je netačno za $x = -1$, jer $2(-1) = -2 < -1$. Stavimo sve ceo brojevi $x$ koji zadovoljavaju: - proveravamo $x=-1$: $2(-1) = -2 < -1$, nije u opsegu - $x=0$: $2(0) = 0 \in [-1,5]$ prihvatljivo - $x=1$: $2(1) = 2 \in [-1,5]$ - $x=2$: $2(2) = 4 \in [-1,5]$ Dakle, $$B = \{0, 1, 2\}$$ Dobijamo: - $A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{0, 1, 2\} = \{1, 2\}$ - $A \setminus B = \{1, 2, 3, 4\} \setminus \{0, 1, 2\} = \{3, 4\}$ - $B \cap A = A \cap B = \{1, 2\}$ **Odgovori su:** 1) Ostatak pri deljenju = $36$. 2) $P(x) - Q(x) = -11x^{3} + x^{2} - 1$, $Q(x)*P(x) = -30x^{6} + 3x^{5} - x^{4} + 31x^{3} + 42x^{2} - 21x + 2$. 3) Kvocijent = $4x^{2} + x + 4$, ostatak = $-1$. 4) $m = -\frac{88}{3}$. 5) $A \cap B = \{1, 2\}$, $A \setminus B = \{3, 4\}$, $B \cap A = \{1, 2\}$.