1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction quadratique modélisant le prix de clôture EUR/USD en fonction du temps $t$ et du momentum $m$ : $$P(t,m) = at^2 + bm^2 + ctm + dt + em + f_0$$ avec les coefficients donnés : $$a = -6.3767 \times 10^{-4},\ b = -1.2467 \times 10^{-2},\ c = 0.6157116,\ d = 5.2170 \times 10^{-3},\ e = -0.8807570,\ f_0 = 1.14861823$$ Nous devons : - Trouver le point critique $(t^*, m^*)$. - Calculer la matrice Hessienne $H$ en $(t,m)$. - Calculer le discriminant de $H$. 2. **Formules utilisées :** - Le point critique est obtenu en annulant les dérivées partielles premières : $$\frac{\partial P}{\partial t} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial m} = 0$$ - Les dérivées partielles sont : $$\frac{\partial P}{\partial t} = 2at + cm + d$$ $$\frac{\partial P}{\partial m} = 2bm + ct + e$$ - La matrice Hessienne $H$ est la matrice des dérivées secondes : $$H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 P}{\partial t^2} & \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial m} \\ \frac{\partial^2 P}{\partial m \partial t} & \frac{\partial^2 P}{\partial m^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & c \\ c & 2b \end{pmatrix}$$ - Le discriminant de $H$ est : $$D = (2a)(2b) - c^2 = 4ab - c^2$$ 3. **Calcul du point critique $(t^*, m^*)$ :** Résolvons le système : $$\begin{cases} 2at + cm + d = 0 \\ ct + 2bm + e = 0 \end{cases}$$ Substituons les valeurs : $$\begin{cases} 2(-6.3767 \times 10^{-4}) t + 0.6157116 m + 5.2170 \times 10^{-3} = 0 \\ 0.6157116 t + 2(-1.2467 \times 10^{-2}) m - 0.8807570 = 0 \end{cases}$$ Ce qui donne : $$\begin{cases} -0.00127534 t + 0.6157116 m = -0.0052170 \\ 0.6157116 t - 0.024934 m = 0.8807570 \end{cases}$$ Multipliant la première équation par $0.024934$ et la deuxième par $0.6157116$ pour éliminer $m$ : $$\begin{cases} -0.00127534 \times 0.024934 t + 0.6157116 \times 0.024934 m = -0.0052170 \times 0.024934 \\ 0.6157116 \times 0.6157116 t - 0.024934 \times 0.6157116 m = 0.8807570 \times 0.6157116 \end{cases}$$ Calculons les coefficients : $$\begin{cases} -3.179 \times 10^{-5} t + 0.01534 m = -0.000130 \\ 0.3791 t - 0.01534 m = 0.5423 \end{cases}$$ Additionnons les deux équations pour éliminer $m$ : $$0.3791 t - 3.179 \times 10^{-5} t = 0.5423 - 0.000130$$ $$0.379068 t = 0.54217$$ $$t^* = \frac{0.54217}{0.379068} \approx 1.4307$$ Substituons $t^*$ dans la première équation : $$-0.00127534 \times 1.4307 + 0.6157116 m = -0.0052170$$ $$-0.001825 + 0.6157116 m = -0.0052170$$ $$0.6157116 m = -0.0052170 + 0.001825 = -0.003392$$ $$m^* = \frac{-0.003392}{0.6157116} \approx -0.00551$$ 4. **Calcul de la matrice Hessienne $H$ :** $$H = \begin{pmatrix} 2a & c \\ c & 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times (-6.3767 \times 10^{-4}) & 0.6157116 \\ 0.6157116 & 2 \times (-1.2467 \times 10^{-2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.00127534 & 0.6157116 \\ 0.6157116 & -0.024934 \end{pmatrix}$$ 5. **Calcul du discriminant $D$ :** $$D = (2a)(2b) - c^2 = 4ab - c^2$$ Calculons : $$4ab = 4 \times (-6.3767 \times 10^{-4}) \times (-1.2467 \times 10^{-2}) = 4 \times 7.952 \times 10^{-6} = 3.1808 \times 10^{-5}$$ $$c^2 = (0.6157116)^2 = 0.3791$$ Donc : $$D = 3.1808 \times 10^{-5} - 0.3791 \approx -0.37907$$ **Conclusion :** - Le point critique est approximativement $(t^*, m^*) = (1.4307, -0.00551)$. - La matrice Hessienne est $$H = \begin{pmatrix} -0.00127534 & 0.6157116 \\ 0.6157116 & -0.024934 \end{pmatrix}$$ - Le discriminant est négatif $D \approx -0.37907$, ce qui indique que le point critique est une selle (pas un minimum ni un maximum).