1. Stwierdźmy problem: obliczyć wartość wyrażenia $$\sqrt{75} + \sqrt{12} - \frac{12}{\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$$. 2. Przypomnijmy, że pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków, czyli $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$, oraz że $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$. 3. Rozłóżmy pierwiastki na czynniki pierwsze i uprośćmy: - $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$ - $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ 4. Uprośćmy wyrażenia z dzieleniem: - $$\frac{12}{\sqrt{3}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$ (mnożymy licznik i mianownik przez $$\sqrt{3}$$) - $$\frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{15}{5}} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$ 5. Podstawmy uproszczone wyrażenia do oryginalnego: $$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$$ 6. Dodajmy i odejmijmy współczynniki przy $$\sqrt{3}$$: $$ (5 + 2 - 4 + 3) \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ Ostateczna odpowiedź to $$6\sqrt{3}$$.