1. مسئله: الگوی شکل‌ها را ادامه دهید و تعداد دایره‌ها را برای شکل‌های داده شده پیدا کنید و رابطه بین شماره شکل و تعداد دایره‌ها را بیابید. 2. مشاهده الگو: تعداد دایره‌ها در شکل‌ها به ترتیب 2، 5، 9، 17 است. 3. بررسی تغییرات: تفاوت بین تعداد دایره‌ها به ترتیب 3، 4، 8 است که به نظر نمی‌رسد یک الگوی خطی ساده باشد. 4. فرض کنیم تعداد دایره‌ها در شکل $n$ را $T_n$ بنامیم. 5. با توجه به اعداد داده شده: $$T_1=2, T_2=5, T_3=9, T_4=17$$ 6. بررسی رابطه: تفاوت اول: $5-2=3$, $9-5=4$, $17-9=8$ تفاوت دوم: $4-3=1$, $8-4=4$ 7. به نظر می‌رسد رابطه ساده‌ای نیست، اما با توجه به اعداد شکل‌ها (1, 2, 5, 8, 9, 17) و تعداد دایره‌ها، احتمالاً رابطه به صورت بازگشتی یا تابعی از شماره شکل است. 8. برای یافتن شکل با 53 دایره، فرض کنیم رابطه به صورت $T_n = 2^{n} + c$ یا مشابه باشد. با توجه به داده‌ها، شکل 4 دارای 17 دایره است که نزدیک به $2^4=16$ است. 9. بنابراین، فرض می‌کنیم: $$T_n = 2^n + 1$$ 10. بررسی برای شکل 5: $$T_5 = 2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$$ 11. برای شکل 6: $$T_6 = 2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$$ 12. عدد 53 بین 33 و 65 است، پس شکل با 53 دایره وجود ندارد اگر رابطه بالا درست باشد. اما اگر رابطه متفاوت باشد، باید بررسی کنیم. 13. با توجه به داده‌ها، شکل 9 دارای 17 دایره است، پس احتمالاً شماره شکل و تعداد دایره‌ها به صورت زیر است: $$T_n = n^2 + 1$$ 14. بررسی برای شکل 7: $$T_7 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$$ 15. برای شکل 8: $$T_8 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65$$ 16. عدد 53 بین 50 و 65 است، پس شکل با 53 دایره وجود ندارد. 17. بنابراین، شکل با 53 دایره وجود ندارد در این الگو. 18. بخش دوم سوال: الگوی عددی زیر را کامل کنید: $$..., ..., ..., 14, 11, 8$$ 19. مشاهده می‌کنیم که اعداد به ترتیب 14، 11، 8 هستند که هر بار 3 کم شده است. 20. بنابراین اعداد قبلی به ترتیب: $$17, 20, 23$$ 21. الگو کامل: $$23, 20, 17, 14, 11, 8$$