1. Masala: Parabolaning uchi $(-1, -4)$ nuqtada joylashgan. $f(x) = ax^2 + bx + c$ tenglamada $a - b + c$ ni toping. Parabola uchi koordinatalari $x_0 = -\frac{b}{2a}$ va $y_0 = f(x_0) = c - \frac{b^2}{4a}$. Berilgan: $x_0 = -1$, $y_0 = -4$. 1) $-1 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = 2a$. 2) $-4 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$. Demak, $a - b + c = -4$. Javob: A) -4 2. Masala: Parabolaning uchi to'rtinchi chorakda joylashgan va barcha choraklardan o'tadi. Uch to'rtinchi chorakda bo'lishi uchun $a > 0$ va $x_0 > 0$, $y_0 < 0$ bo'lishi mumkin. Barcha choraklardan o'tishi uchun ildizlar $x_1 < 0 < x_2$ bo'lishi kerak. Shunday qilib, $a c > 0$ to'g'ri. Javob: A) ac > 0 3. Masala: $y = (2x - 3)^2 + 14$ parabola uchining koordinatalari. Parabola uchi $x_0$ uchun $(2x - 3)^2$ minimal bo'lishi kerak, ya'ni $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$. $y_0 = 0 + 14 = 14$. Javob: C) (1,5; 14) 4. Masala: $y = kx^2$ pastga qaragan parabola, $y=0$ va $x=2$ chiziqlar orasidagi soha 16 ga teng. Soha: $S = \int_0^2 |kx^2| dx = \int_0^2 -kx^2 dx = -k \frac{2^3}{3} = -k \frac{8}{3} = 16$. $-k \frac{8}{3} = 16 \Rightarrow k = -6$. Javob: D) -6 5. Masala: $y = x^2 - 5x + 7$ funksiyaning $OY$ o'qiga nisbatan simmetrigini toping. Simmetriya: $x$ ni $-x$ bilan almashtiramiz. $y = (-x)^2 - 5(-x) + 7 = x^2 + 5x + 7$. Javob: C) y = x² + 5x + 7 6. Masala: $y = \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{3}x$ parabola qaysi nuqtadan o'tadi va 0° bilan 45° burchak hosil qiladi. To'g'ri chiziqning qiyaligi $m = \tan 45° = 1$. Parabola hosilasi: $y' = \frac{2}{9}x + \frac{1}{3}$. $y' = 1 \Rightarrow \frac{2}{9}x + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow \frac{2}{9}x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 3$. $y = \frac{1}{9} (3)^2 + \frac{1}{3} (3) = \frac{9}{9} + 1 = 2$. Nuqta: $(3, 2)$. Javob: C) (3; 2) 7. Masala: $\,\ln 2.71$ qiymati qaysi oraliqda? $\,\ln e \approx 1$, $2.71$ yaqin $e$ ga. Shuning uchun $\,\ln 2.71$ taxminan $1$ ga teng. Javob: B) [1; 2) 8. Masala: $[\log_2^3] + [\log_2^4] + ... + [\log_2^{16}]$ ni hisoblang. $\log_2^n = \log_2 n$. Butun qismni hisoblash uchun $\log_2 n$ ni hisoblaymiz: $\log_2 3 \approx 1.58 \to 1$ $\log_2 4 = 2$ $\log_2 5 \approx 2.32 \to 2$ $\log_2 8 = 3$ $\log_2 16 = 4$ Butun qismlar yig'indisi: $1 + 2 + 2 + 3 + ... + 4$. Hisoblash natijasi: 33. Javob: C) 33 9. Masala: $y = -x^2 - 12x + 16$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping. Parabola ochilishi pastga, maksimal qiymat uchi: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{-2} = -6$. $y_0 = -(-6)^2 - 12(-6) + 16 = -36 + 72 + 16 = 52$. Qiymatlar sohas: $(-\infty, 52]$. Javob: B) (-∞; 52] 10. Masala: $y = 7 - 2(x - 3)^2$ qiymatlar sohasini toping. Parabola ochilishi pastga, maksimal qiymat $y_{max} = 7$. Qiymatlar sohas: $(-\infty, 7]$. Javob: A) (-∞; 7) 11. Masala: $y = ax^2 + bx + c$, $b > 2\sqrt{ac}$ va $ac > 0$ bo'lsa, grafigi nechta chorakdan o'tadi? Shartlar ildizlar turlicha va haqiqiy, parabola ochilishi yuqoriga yoki pastga. Ildizlar $x_1, x_2$ turlicha va $ac > 0$. Parabola grafigi 3 chorakdan o'tadi. Javob: B) 3 12. Masala: $y = (a + 1)x^2 - 2(a + 3)x + a + 1$ parabolaning simmetriya o'qining $x=2$ dan 3 birlik o'ngda bo'lishi uchun $a$ ni toping. Simmetriya o'qining tenglamasi: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. $b = -2(a+3)$, $a = a+1$. $x_0 = -\frac{-2(a+3)}{2(a+1)} = \frac{a+3}{a+1}$. $x_0 = 2 + 3 = 5$. $\frac{a+3}{a+1} = 5 \Rightarrow a+3 = 5a + 5 \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -0.5$. Javob: D) -0,5 13. Masala: $y = 2x^2 + 5x - 12$ grafigi koordinata o'qlarini kesish nuqtalarining koordinatalari yig'indisi. $x$ kesish nuqtalari ildizlar yig'indisi: $-\frac{b}{a} = -\frac{5}{2} = -2.5$. $y$ kesish nuqtasi: $y(0) = -12$. Yig'indisi: $-2.5 + (-12) = -14.5$. Javob: D) -14,5 14. Masala: $(-1,0), (3,0), (0,2)$ nuqtalardan o'tuvchi parabola va $OX$ o'qiga nisbatan simmetrik funksiya. Parabola tenglamasi $y = ax^2 + bx + c$. $y$ kesish nuqtasi $c = 2$. Ildizlar $x = -1$ va $x = 3$. $y = a(x+1)(x-3) + 2$. Simmetriya $OX$ ga nisbatan: $y$ ni $-y$ ga almashtiramiz. To'g'ri javob: A) $y = \frac{2}{3}x^2 - x + 2$ 15. Masala: $y = ax^2 + bx + c$ kvadrat funksiyaning uchi uchinchi chorakda, grafigi barcha choraklardan o'tadi. Doimo to'g'ri bo'lgan shartlar soni: 2 ta. Javob: B) 2 16. Masala: $y = ax^2 + bx + c$ grafigi berilgan, $a, b, c, D$ ishoralarini aniqlang. Parabola pastga ochilgan, $D > 0$, $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$. Javob: A) -, +, +, - 17. Masala: $y = (m - 2)x^2 - 2x + m + 1$ parabola $y = -2x + 4$ to'g'ri chiziqqa uringan bo'lsa, urinsh nuqtasi ordinatasini toping. Urinish nuqtasi $y = -2x + 4$. Javob: B) aniqlab bo'lmaydi 18. Masala: $y = 3 - (a - 2)x + ax^2$ parabola uchi ordinata o'qida yotsa, $a$ ni toping. Uchi $x=0$ da bo'lishi uchun $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$. $b = -(a-2)$. $-\frac{-(a-2)}{2a} = 0 \Rightarrow \frac{a-2}{2a} = 0 \Rightarrow a = 2$. Javob: D) 2 19. Masala: $y = x^2 - 4x + 6$ parabolaga $OY$ o'qiga nisbatan simmetrik parabola tenglamasi. Simmetriya uchun $x$ ni $-x$ bilan almashtiramiz. $y = (-x)^2 - 4(-x) + 6 = x^2 + 4x + 6$. Javob: A) y = x² + 4x + 6 20. Masala: $y = x^2 - 12ax + 4a$ va $y = x^2 - 6ax + 4$ parabolalar uchlari $Ox$ o'qidan yuqorida yotmaydi. Shartlar: $a \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [9, \infty)$. Javob: A) (-∞; 2/3] ∪ [9; ∞) 21. Masala: $y = ax^2 + bx + c$, $D = b^2 - 4ac$, $y = kx + b$ bo'lsa, qaysi tasdiq to'g'ri? To'g'ri javob: D) $(k + c)(b - l)/abc > 0$ 22. Masala: $y = -x^2 + 2x + a$ parabola $a$ ning qanday qiymatida 4 ta no manfiy butun qiymatga ega? Javob: D) 1 23. Masala: $y = -x^2 + 2x + a$ funksiyaning qiymatlar to'plami $a$ ning qanday qiymatida 4 ta no manfiy butun qiymatga ega? Javob: D) 1