1. **Exercice 1 : Périmètre et aire maximale** Un fermier a 200 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire. On doit trouver les dimensions $x$ et $y$ en mètres pour maximiser l'aire. 2. **Définissons les variables et expressions :** - $x$ = longueur du terrain - $y$ = largeur du terrain - Périmètre donné : $2(x + y) = 200 \,m$ donc $$x+y=100$$ - L'aire à maximiser : $$A = xy$$ 3. **Exprimer $y$ en fonction de $x$ :** $$y = 100 - x$$ 4. **Exprimer l'aire en fonction d'une seule variable :** $$A(x) = x(100 - x) = 100x - x^2$$ 5. **Trouvons le maximum de $A(x)$ :** - La fonction $A(x)$ est une parabole avec un coefficient négatif devant $x^2$, donc elle est concave vers le bas. - La dérivée est $$A'(x) = 100 - 2x$$ 6. **Cherchons les points critiques :** - Posons $$A'(x) = 0 \, \Rightarrow \, 100 - 2x = 0 \, \Rightarrow \, x = 50$$ 7. **Vérifions que c'est un maximum :** - Calculons la dérivée seconde $$A''(x) = -2 < 0,$$ donc $x=50$ est un maximum. 8. **Calcul des dimensions :** - $$x = 50 \, m$$ - $$y = 100 - 50 = 50 \, m$$ 9. **Conclusion pour le terrain :** Pour une aire maximale, le terrain doit être un carré de 50 m sur 50 m. --- Pour les autres exercices, pourriez-vous spécifier sur lesquels vous voulez que je fasse l'analyse complète?