1. **Planteamiento del problema:** Queremos maximizar el ingreso económico $I(d)$ de una empresa de telefonía celular que ofrece disminuciones en la cuota mensual para captar nuevos clientes. 2. **Definición de variables:** - $n$: número actual de clientes. - $N$: número potencial de nuevos clientes por cada disminución aplicada. - $c$: cuota mensual original. - $v$: valor de disminución por cada cliente potencial. - $d$: número de disminuciones aplicadas. 3. **Función de ingreso económico:** $$I(d) = (n + N \cdot d)(c - v \cdot d)$$ 4. **Expansión de la función:** Aplicamos la propiedad distributiva: $$I(d) = n c - n v d + N c d - N v d^2$$ Reordenando en forma cuadrática: $$I(d) = -N v d^2 + (N c - n v) d + n c$$ 5. **Derivada para encontrar el máximo:** Derivamos $I(d)$ respecto a $d$: $$I'(d) = -2 N v d + (N c - n v)$$ 6. **Encontrar el valor crítico:** Igualamos la derivada a cero para hallar el máximo: $$-2 N v d + (N c - n v) = 0$$ Despejamos $d$: $$d = \frac{N c - n v}{2 N v}$$ 7. **Evaluación en extremos y valor crítico:** Calculamos $I(0)$: $$I(0) = n c$$ Calculamos $I(d)$ en el valor crítico encontrado para verificar que es máximo. 8. **Interpretación:** El valor $d = \frac{N c - n v}{2 N v}$ representa el número óptimo de disminuciones que maximiza el ingreso, equilibrando la captación de nuevos clientes y la reducción de la cuota. 9. **Análisis gráfico:** La función $I(d)$ es una parábola con coeficiente cuadrático negativo, por lo que tiene un máximo en el vértice dado por el valor crítico $d$. 10. **Conclusión:** Aplicar $d$ disminuciones optimiza el ingreso total, ayudando a la empresa a decidir la mejor estrategia de precios para captar clientes durante la temporada navideña.