1. Enunțul problemei: Avem un număr natural de trei cifre \(\overline{abc}\) cu proprietățile \(c - a = 8\) și \(c - b = 3\). Trebuie să găsim valoarea numărului natural \(k\) astfel încât \(k^2 = \overline{abc}\). 2. Notăm numărul \(\overline{abc}\) ca \(100a + 10b + c\), unde \(a, b, c\) sunt cifre (0-9) și \(a \neq 0\) deoarece este număr de trei cifre. 3. Din condiții avem: \[ c - a = 8 \implies c = a + 8 \] \[ c - b = 3 \implies b = c - 3 = a + 8 - 3 = a + 5 \] 4. Deoarece \(a, b, c\) sunt cifre, ele trebuie să fie între 0 și 9. Verificăm valorile posibile pentru \(a\): - \(a + 8 \leq 9 \implies a \leq 1\) - \(b = a + 5 \leq 9 \implies a \leq 4\) Din prima condiție, \(a\) poate fi 0 sau 1, dar \(a\) nu poate fi 0 (număr de trei cifre), deci \(a = 1\). 5. Calculăm cifrele: \[ c = 1 + 8 = 9 \] \[ b = 1 + 5 = 6 \] 6. Numărul este \(\overline{abc} = 100 \times 1 + 10 \times 6 + 9 = 169\). 7. Verificăm care \(k\) satisface \(k^2 = 169\): \[ k = \sqrt{169} = 13 \] 8. Răspunsul corect este \(k = 13\), adică varianta d).