1. Diberikan persamaan kuadrat $x^2 - x - 2 = 0$ dengan akar-akar $p$ dan $q$. Kita diminta mencari nilai dari $(p^2 - p - 4)(q^2 - q + 4)$. 2. Pertama, kita gunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat: jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar dari $ax^2 + bx + c = 0$, maka $$p + q = -\frac{b}{a}$$ $$pq = \frac{c}{a}$$ 3. Untuk persamaan $x^2 - x - 2 = 0$, didapatkan $$p + q = 1$$ $$pq = -2$$ 4. Hitung $p^2 - p - 4$ dan $q^2 - q + 4$ dengan menggunakan identitas: $$p^2 = (p + q)^2 - 2pq - q^2$$ tapi lebih mudah langsung substitusi dengan $p^2 = p(p)$. 5. Namun, kita bisa gunakan rumus kuadrat untuk $p^2 - p - 4$: $$p^2 - p - 4 = p^2 - p - 4$$ Begitu juga untuk $q^2 - q + 4$. 6. Kita cari nilai $(p^2 - p - 4)(q^2 - q + 4)$ dengan mengembangkan: $$= (p^2 - p - 4)(q^2 - q + 4)$$ $$= p^2 q^2 - p^2 q + 4 p^2 - p q^2 + p q - 4 p - 4 q^2 + 4 q - 16$$ 7. Kelompokkan dan gunakan sifat $p+q=1$ dan $pq=-2$: - $p^2 q^2 = (pq)^2 = (-2)^2 = 4$ - $p^2 q + p q^2 = pq(p+q) = -2 \times 1 = -2$ 8. Substitusi: $$= 4 - (-2) + 4 p^2 - 4 p - 4 q^2 + 4 q - 16 + p q$$ Namun, kita harus hati-hati, mari kita tulis ulang dengan benar: $$p^2 q^2 - p^2 q - p q^2 + p q + 4 p^2 - 4 p - 4 q^2 + 4 q - 16$$ 9. Gunakan $p^2 q + p q^2 = pq(p+q) = -2 \times 1 = -2$ dan $p q = -2$: Jadi, $$p^2 q^2 - p^2 q - p q^2 + p q = 4 - (-2) + (-2) = 4 + 2 - 2 = 4$$ 10. Selanjutnya, kita hitung $4 p^2 - 4 p - 4 q^2 + 4 q - 16$. 11. Kelompokkan: $$4(p^2 - p - q^2 + q) - 16$$ 12. Gunakan identitas: $$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$$ 13. Jadi, $$p^2 - p - q^2 + q = (p^2 - q^2) - (p - q) = (p - q)(p + q) - (p - q) = (p - q)( (p + q) - 1 )$$ 14. Karena $p + q = 1$, maka $$(p + q) - 1 = 0$$ 15. Jadi, $$p^2 - p - q^2 + q = (p - q) \times 0 = 0$$ 16. Maka, $$4(p^2 - p - q^2 + q) - 16 = 4 \times 0 - 16 = -16$$ 17. Total nilai: $$4 + (-16) = -12$$ 18. Jadi, nilai dari $(p^2 - p - 4)(q^2 - q + 4)$ adalah $-12$. 19. Jawaban yang tepat adalah C. -12.