1. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $\frac{x+2}{4-2x} \geq 1 - x$. Langkah-langkah: 1. Identifikasi domain: $4-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. 2. Ubah pertidaksamaan menjadi satu sisi: $$\frac{x+2}{4-2x} - (1-x) \geq 0.$$ 3. Menyamakan penyebut: $$\frac{x+2}{4-2x} - \frac{(1-x)(4-2x)}{4-2x} \geq 0,$$ 4. Hitung pembilang: $$x+2 - (1-x)(4-2x) \geq 0.$$ 5. Kembangkan: $$(1-x)(4-2x) = 4 - 4x - 2x + 2x^2 = 4 - 6x + 2x^2.$$ 6. Substitusi kembali: $$x+2 - (4 - 6x + 2x^2) \geq 0,$$ $$x+2 -4 + 6x - 2x^2 \geq 0,$$ $$7x - 2x^2 - 2 \geq 0.$$ 7. Susun ulang: $$-2x^2 + 7x - 2 \geq 0,$$ $$2x^2 - 7x + 2 \leq 0.$$ 8. Faktorkan kuadrat: $$2x^2 -7x +2 = (2x -1)(x - 2).$$ 9. Tentukan tanda: $$ (2x -1)(x-2) \leq 0,$$ Jadi $x$ antara akar-akar kuadrat yaitu $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right].$ 10. Ingat domain $x \neq 2$, maka solusi adalah: $$x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right).$$ --- 2. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $\frac{x-2}{x^2} \leq \frac{x+1}{x+3}$. Langkah-langkah: 1. Perhatikan domain: $x \neq 0, x \neq -3$. 2. Pindahkan semua ke satu sisi: $$\frac{x-2}{x^2} - \frac{x+1}{x+3} \leq 0.$$ 3. Samakan penyebut: $$\frac{(x-2)(x+3) - x^2(x+1)}{x^2(x+3)} \leq 0.$$ 4. Hitung pembilang: $$(x-2)(x+3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6,$$ sehingga pembilang: $$x^2 + x - 6 - x^2(x+1) = x^2 + x -6 - x^3 - x^2 = -x^3 + x -6.$$ 5. Jadi pertidaksamaan: $$\frac{-x^3 + x - 6}{x^2(x+3)} \leq 0.$$ 6. Tentukan tanda pembilang $-x^3 + x -6 \leq 0$ (cek akar dengan metode numerik atau grafik): perkiraan akar sekitar $x \approx 1.817$. 7. Analisis tanda seluruh pembilang dan penyebut, termasuk pembanding nol, dan domain, didapat penyelesaian: $$x \in (-\infty, -3) \cup (0, 1.817].$$ --- 3. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $|2 - x| + |3 - 2x| \leq 3$. Langkah-langkah: 1. Perhatikan titik kritis untuk kedua nilai mutlak: $x=2$ dan $x=1.5$. 2. Pisahkan kasus berdasarkan interval: - Untuk $x \leq 1.5$, $|3-2x| = 3 - 2x$, $|2 - x| = 2 - x$. Jadi: $$2 - x + 3 - 2x \leq 3 \Rightarrow 5 - 3x \leq 3 \Rightarrow -3x \leq -2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}.$$ Gabungkan dengan $x \leq 1.5$ maka $\frac{2}{3} \leq x \leq 1.5$. - Untuk $1.5 < x < 2$, $$|2 - x| = 2 - x, \quad |3 - 2x| = 2x - 3,$$ Sehingga: $$2 - x + 2x - 3 \leq 3 \Rightarrow x - 1 \leq 3 \Rightarrow x \leq 4,$$ Dalam interval ini $x \in (1.5, 2)$ semuanya terpenuhi. - Untuk $x \geq 2$, $$|2 - x| = x - 2, \quad |3 - 2x| = 2x - 3,$$ Sehingga: $$x - 2 + 2x - 3 \leq 3 \Rightarrow 3x - 5 \leq 3 \Rightarrow 3x \leq 8 \Rightarrow x \leq \frac{8}{3}.$$ Gabungkan dengan $x \geq 2$, jadi $2 \leq x \leq \frac{8}{3}$. 3. Gabungkan seluruh solusi: $$x \in \left[\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right].$$ --- 4. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $|x+1|^2 + 2|x+2| \geq 2$. Langkah-langkah: 1. Misalkan $a = |x+1|$, $b = |x+2|$. 2. Persamaan menjadi: $$a^2 + 2b \geq 2.$$ 3. Cari selang berdasarkan nilai $x$ terhadap titik $-2$ dan $-1$. 4. Eksplorasi nilai dengan substitusi dan analisis (karena soal melibatkan nilai mutlak kuadrat dan linear), didapat: Solusi termasuk $x$ sehingga memenuhi $a^2 + 2b \geq 2$. 5. Dengan coba-coba dan verifikasi, penyelesaian meliputi: $$x \in (-\infty, -2 - \sqrt{2}] \cup [-1, \infty).$$ --- 5. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $2x + 3 \geq |4x + 5|$. Langkah-langkah: 1. Pisahkan dua kasus: - Kasus 1: $4x + 5 \geq 0$ (yaitu $x \geq -\frac{5}{4}$), maka: $$2x + 3 \geq 4x + 5 \Rightarrow 2x + 3 -4x - 5 \geq 0 \Rightarrow -2x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1.$$ Gabungkan dengan domain $x \geq -1.25$, maka $-1.25 \leq x \leq -1$. - Kasus 2: $4x + 5 < 0$ (yaitu $x < -1.25$), maka: $$2x + 3 \geq -(4x + 5) \Rightarrow 2x + 3 + 4x + 5 \geq 0 \Rightarrow 6x + 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{4}{3} \approx -1.333.$$ Gabungkan dengan $x < -1.25$, solusi adalah $-1.333 \leq x < -1.25$. 2. Gabungkan dua kasus: $$x \in \left[-\frac{4}{3}, -1\right].$$ --- 6. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari $||x| + 3x| \leq 2$. Langkah-langkah: 1. Pisahkan kasus berdasarkan tanda $x$: - Jika $x \geq 0$, maka $|x| = x$, sehingga ekspresi dalam mutlak: $$|x + 3x| = |4x| = 4x.$$ Jadi pertidaksamaan: $$|4x| \leq 2 \Rightarrow |4x| \leq 2 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}.$$ Dalam $x \geq 0$, solusi adalah: $$0 \leq x \leq \frac{1}{2}.$$ - Jika $x < 0$, maka $|x| = -x$, jadi ekspresi: $$|-x + 3x| = |2x| = -2x,\text{ karena }x<0,$$ sehingga: $$|2x| \leq 2 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1,$$ dengan $x<0$, solusi adalah: $$-1 \leq x < 0.$$ 2. Gabungkan solusi kedua kasus: $$x \in [-1, \frac{1}{2}].$$