1. Stwierdźmy problem: Rozwiąż nierówność $$\left| \frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \right| \geq 1$$. 2. Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $|a| \geq 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a \leq -1$ lub $a \geq 1$. 3. Zatem rozważamy dwie nierówności: $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \geq 1$$ oraz $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \leq -1$$ 4. Najpierw rozwiążmy $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \geq 1$$. Przenieśmy 1 na lewą stronę: $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} - 1 \geq 0$$ Zapiszmy wspólny mianownik: $$\frac{x^{2} - 5x + 4 - (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} \geq 0$$ Uprośćmy licznik: $$x^{2} - 5x + 4 - x^{2} + 4 = -5x + 8$$ Zatem nierówność to: $$\frac{-5x + 8}{x^{2} - 4} \geq 0$$ 5. Rozłóżmy mianownik na czynniki: $$x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ 6. Zbadajmy znaki licznika i mianownika: - Licznik: $-5x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5} = 1.6$ - Mianownik: miejsca zerowe $x = -2$ i $x = 2$ (w tych punktach funkcja nie jest określona) 7. Zbierzmy punkty krytyczne: $-2$, $1.6$, $2$ i rozważmy przedziały: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1.6)$, $(1.6, 2)$, $(2, \infty)$ 8. Zbadajmy znak wyrażenia $$\frac{-5x + 8}{(x - 2)(x + 2)}$$ na każdym przedziale: - Dla $x < -2$: - licznik: $-5x + 8$ przy $x=-3$ to $-5(-3)+8=15+8=23 > 0$ - mianownik: $(x-2)(x+2)$ przy $x=-3$ to $(-5)(-1)=5 > 0$ - iloraz: $>0$ - Dla $-2 < x < 1.6$: - licznik: przy $x=0$ to $8 > 0$ - mianownik: przy $x=0$ to $(-2)(2) = -4 < 0$ - iloraz: $>0 / <0 = <0$ - Dla $1.6 < x < 2$: - licznik: przy $x=1.7$ to $-5(1.7)+8 = -8.5 + 8 = -0.5 < 0$ - mianownik: przy $x=1.7$ to $(1.7-2)(1.7+2) = (-0.3)(3.7) = -1.11 < 0$ - iloraz: $<0 / <0 = >0$ - Dla $x > 2$: - licznik: przy $x=3$ to $-15 + 8 = -7 < 0$ - mianownik: przy $x=3$ to $(1)(5) = 5 > 0$ - iloraz: $<0 / >0 = <0$ 9. Nierówność $$\frac{-5x + 8}{x^{2} - 4} \geq 0$$ jest spełniona na przedziałach: $$(-\infty, -2) \cup (1.6, 2)$$ 10. Teraz rozwiążmy drugą nierówność: $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \leq -1$$ Przenieśmy $-1$ na lewą stronę: $$\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} + 1 \leq 0$$ Zapiszmy wspólny mianownik: $$\frac{x^{2} - 5x + 4 + (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} \leq 0$$ Uprośćmy licznik: $$x^{2} - 5x + 4 + x^{2} - 4 = 2x^{2} - 5x$$ Nierówność to: $$\frac{2x^{2} - 5x}{x^{2} - 4} \leq 0$$ 11. Rozłóżmy licznik: $$2x^{2} - 5x = x(2x - 5)$$ Mianownik jak wcześniej: $(x - 2)(x + 2)$ 12. Punkty zerowe licznika: $x=0$ i $x=\frac{5}{2} = 2.5$ Punkty zerowe mianownika: $x=-2$, $x=2$ 13. Zbierzmy punkty krytyczne: $-2$, $0$, $2$, $2.5$ 14. Zbadajmy znak wyrażenia $$\frac{x(2x - 5)}{(x - 2)(x + 2)}$$ na przedziałach: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 2.5)$, $(2.5, \infty)$ - Dla $x < -2$ (np. $x=-3$): - licznik: $-3(2(-3)-5) = -3(-6-5) = -3(-11) = 33 > 0$ - mianownik: $(-3-2)(-3+2) = (-5)(-1) = 5 > 0$ - iloraz: $>0$ - Dla $-2 < x < 0$ (np. $x=-1$): - licznik: $-1(2(-1)-5) = -1(-2-5) = -1(-7) = 7 > 0$ - mianownik: $(-1-2)(-1+2) = (-3)(1) = -3 < 0$ - iloraz: $>0 / <0 = <0$ - Dla $0 < x < 2$ (np. $x=1$): - licznik: $1(2(1)-5) = 1(2-5) = 1(-3) = -3 < 0$ - mianownik: $(1-2)(1+2) = (-1)(3) = -3 < 0$ - iloraz: $<0 / <0 = >0$ - Dla $2 < x < 2.5$ (np. $x=2.2$): - licznik: $2.2(4.4 - 5) = 2.2(-0.6) = -1.32 < 0$ - mianownik: $(2.2-2)(2.2+2) = (0.2)(4.2) = 0.84 > 0$ - iloraz: $<0 / >0 = <0$ - Dla $x > 2.5$ (np. $x=3$): - licznik: $3(6 - 5) = 3(1) = 3 > 0$ - mianownik: $(3-2)(3+2) = (1)(5) = 5 > 0$ - iloraz: $>0$ 15. Nierówność $$\frac{2x^{2} - 5x}{x^{2} - 4} \leq 0$$ jest spełniona na przedziałach: $$(-2, 0] \cup (2, 2.5]$$ 16. Pamiętajmy, że $x = \pm 2$ nie należą do dziedziny funkcji (mianownik zerowy). 17. Ostateczne rozwiązanie nierówności $$\left| \frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 4} \right| \geq 1$$ to suma rozwiązań obu nierówności: $$(-\infty, -2) \cup (1.6, 2) \cup (-2, 0] \cup (2, 2.5]$$ Połączmy i uporządkujmy z wykluczeniem punktów $-2$ i $2$: $$(-\infty, -2) \cup (-2, 0] \cup (1.6, 2) \cup (2, 2.5]$$ 18. To jest ostateczna odpowiedź.