1. Bài toán yêu cầu tìm giá trị của $x$ sao cho phương trình $$x^3 - x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{27} = 0$$ được thỏa mãn. 2. Ta nhận thấy đây là phương trình bậc ba, có thể thử nghiệm các giá trị hoặc sử dụng phương pháp phân tích để tìm nghiệm. 3. Ta thử đặt $x = \frac{1}{3}$ và thay vào phương trình: $$\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{27} = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = 0$$ 4. Kết quả bằng 0 chứng tỏ $x = \frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình. 5. Do đó, giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình là $\boxed{\frac{1}{3}}$.