1. Énoncé du problème : Pour la matrice $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, calculer le polynôme caractéristique $\chi_A$, trouver ses valeurs propres et leurs ordres de multiplicité, déterminer les bases des sous-espaces propres $E_1$ et $E_2$, comparer les dimensions de ces sous-espaces avec les multiplicitées, et commenter. 2. Calcul du polynôme caractéristique : $$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ La matrice $A-\lambda I$ est triangulaire supérieure, donc $$\chi_A(\lambda) = (2-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda) = (2-\lambda)^2 (1-\lambda)$$ 3. Valeurs propres et multiplicité : Les valeurs propres sont donc $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 2$. L'ordre de multiplicité est donné par l'exposant dans le polynôme caractéristique : - $m_1 = 1$ car $(1-\lambda)$ apparaît une fois. - $m_2 = 2$ car $(2-\lambda)^2$ apparaît au carré. 4. Détermination des sous-espaces propres : - Pour $\lambda = 1$, on résout $(A - I)X = 0$: $$A - I = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ Système équivalent : $$x + y + z = 0$$ $$y + z = 0$$ De la deuxième équation, $y = -z$. De la première, $x + (-z) + z = x = 0$. Donc les vecteurs propres pour $\lambda=1$ sont : $$X = \begin{pmatrix}0 \\ -z \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Base de $E_1$ : $\{(0,-1,1)^T\}$ Dimension : $\dim(E_1) = 1$. - Pour $\lambda = 2$, on résout $(A - 2I)X = 0$: $$A - 2I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$ On résout : $$1 \cdot y + 1 \cdot z = 0 \, (1)$$ $$1 \cdot z = 0 \, (2)$$ $$-1 \cdot z = 0 \, (3)$$ L'équation $(2)$ donne $z=0$, donc de $(1)$ on a $y=0$. $x$ est libre, donc les vecteurs propres sont : $$X = \begin{pmatrix}x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Base de $E_2$ : $\{(1,0,0)^T\}$ Dimension : $\dim(E_2) = 1$. 5. Comparaison dimension vs multiplicité : - Pour $\lambda=1$, $\dim(E_1) = m_1 = 1$. - Pour $\lambda=2$, $\dim(E_2) = 1 < m_2 = 2$. 6. Observation : La dimension du sous-espace propre n'est pas toujours égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre. Ici, $\lambda=2$ est une valeur propre de multiplicité 2 mais son sous-espace propre est de dimension 1. Cela signifie que la matrice $A$ n'est pas diagonalisable complètement car la multiplicité algébrique (ordre dans le polynôme caractéristique) est supérieure à la multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre).