1. Soit $A = (2x - 3)(-x + 4) - (4x - 6)(2x - 1) + (3 - 2x)(3x + 8)$. \nDéveloppons chaque produit:\n$(2x - 3)(-x + 4) = 2x \times (-x) + 2x \times 4 - 3 \times (-x) - 3 \times 4 = -2x^2 + 8x + 3x - 12 = -2x^2 + 11x -12$.\n$(4x - 6)(2x - 1) = 4x \times 2x + 4x \times (-1) - 6 \times 2x - 6 \times (-1) = 8x^2 - 4x - 12x + 6 = 8x^2 - 16x + 6$.\n$(3 - 2x)(3x + 8) = 3 \times 3x + 3 \times 8 - 2x \times 3x - 2x \times 8 = 9x + 24 - 6x^2 - 16x = -6x^2 -7x + 24$.\nEnsuite, substituons ces résultats dans $A$:\n$A = (-2x^2 + 11x -12) - (8x^2 - 16x + 6) + (-6x^2 -7x + 24)$.\nSimplifions:\n$A = -2x^2 + 11x - 12 - 8x^2 + 16x - 6 - 6x^2 -7x + 24 = (-2x^2 - 8x^2 - 6x^2) + (11x + 16x -7x) + (-12 - 6 + 24) = -16x^2 + 20x + 6$.\n\n2. Factorisons $A = -16x^2 + 20x + 6$.\nD'abord, mettons en facteur $-2$: $A = -2(8x^2 - 10x - 3)$. \nCherchons deux nombres dont le produit est $8 \times (-3) = -24$ et la somme $-10$. Ces nombres sont $-12$ et $2$.\nOn écrit: $8x^2 - 10x - 3 = 8x^2 - 12x + 2x - 3 = 4x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (4x + 1)(2x -3)$.\nDonc \n$A = -2(4x + 1)(2x - 3)$.\n\n3. Résolution dans $\mathbb{R}$:\na) $A=0 \iff -2(4x+1)(2x-3) = 0 \iff (4x+1)(2x-3) = 0$.\nSolutions : $4x + 1 =0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$, $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.\nb) $|A| = |2x - 3| \Rightarrow |-2(4x + 1)(2x - 3)| = |2x -3|$.\nSimplifions : $2| (4x +1)(2x -3) | = |2x -3|$.\nSi $2x -3 \neq 0$, on divise par $|2x -3|$ des deux côtés:\n$2|4x +1| = 1 \Rightarrow |4x +1| = \frac{1}{2}$.\nDonc $4x + 1 = \frac{1}{2}$ ou $4x + 1 = -\frac{1}{2}$.\nSolutions: $4x = -\frac{1}{2}$ ou $4x = -\frac{3}{2}$ donc $x = - \frac{1}{8}$ ou $x = -\frac{3}{8}$.\nSi $2x - 3=0$, alors $x=\frac{3}{2}$ ce qui vérifie aussi.\n\nc) $\frac{|A|}{|2x -3|} = 1$.\nComme dans b), $\frac{|A|}{|2x - 3|} = |-2(4x +1)(2x -3)| / |2x -3| = 2|4x +1| =1$.\nDonc même condition, solutions $x = -\frac{1}{8}$ ou $x = -\frac{3}{8}$.\n\n4. Soit $x = \sqrt{28 - 10\sqrt{3}}$, $y = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$. Montrons que $x + y$ est un entier.\nCherchons $x^2$ et $y^2$:\n$x^2 = 28 - 10\sqrt{3}$, $y^2 = 4 + 2\sqrt{3}$.\nCommençons par $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 28 - 10\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} + 2xy = 32 - 8\sqrt{3} + 2xy$.\nRappelons que $xy = \sqrt{(28 - 10\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})}$.\nDéveloppons le produit sous la racine:\n$(28)(4) + 28(2\sqrt{3}) - 10\sqrt{3}(4) - 10\sqrt{3}(2\sqrt{3}) = 112 + 56\sqrt{3} - 40 \sqrt{3} - 20 \times 3 = 112 + 16\sqrt{3} - 60 = 52 +16\sqrt{3}$.\nDonc $xy = \sqrt{52 + 16\sqrt{3}}$.\nCherchons $a$, $b$ tels que $52 + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2$.\nÉquations : $a^2 + 3b^2 = 52$, $2ab = 16 \Rightarrow ab = 8$.\nEssayons $a=4$, $b=2$ : $a^2 + 3b^2 = 16 + 12 = 28 \ne 52$\n$a=2$, $b=4$ : $4 + 48 = 52$ et $2 \times 2 \times 4 =16$ qui donne $ab=8$, parfait.\nDonc $xy = 2 + 4\sqrt{3}$.\nRevenons à $(x+y)^2$:\n$(x+y)^2 = 32 - 8\sqrt{3} + 2(2 + 4\sqrt{3}) = 32 - 8\sqrt{3} + 4 + 8\sqrt{3} = 36$.\nDonc $x + y = \sqrt{36} = 6$, un entier.\n\n5. Simplifions :\n$A = \sqrt{800} + 13\sqrt{50} - 3\sqrt{288}$.\n$\sqrt{800} = \sqrt{16 \times 50} = 4\sqrt{50}$, \n$13\sqrt{50} = 13 \times \sqrt{25 \times 2} = 13 \times 5 \sqrt{2} = 65\sqrt{2}$,\n$3\sqrt{288} = 3 \times \sqrt{144 \times 2} = 3 \times 12 \sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.\n$A = 4\sqrt{50} + 65\sqrt{2} - 36\sqrt{2} = 4 \times 5\sqrt{2} + 29\sqrt{2} = 20\sqrt{2} + 29\sqrt{2} = 49\sqrt{2}$.\n\n$B = (2\sqrt{3} - 2)^2 = (2(\sqrt{3} - 1))^2 = 4(\sqrt{3} -1)^2$.\nDéveloppons $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.\nDonc $B = 4(4 - 2\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3}$.\n\n$c = (3\sqrt{8} + \sqrt{18})^2$.\n$3\sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.\nDonc $c = (6\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \times 2 = 162$.\n\n$D = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$.\nRationnalisons le dénominateur:\n$D = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{2 - 5} = -\frac{2 + \sqrt{10}}{-3} = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$.\n\n6. Simplifions les écritures :\n$A_1 = iq^3 \times 100^2 \times 10^5$. On ne peut aller plus loin sans valeur ou contexte, réponse reste $iq^3 \times 10^{4} \times 10^{5} = iq^3 \times 10^{9}$.\n$B = 0.2 \times 10^{-1} \times 10^3 = 0.2 \times 10^{2} = 20$.\n$C = \frac{10^{-2} + 3 \times 10^{-1} - 25 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-1} - 50 \times 10^{-3}} = \frac{0.01 + 0.3 - 0.025}{0.4 - 0.05} = \frac{0.285}{0.35} = \frac{285}{350} = \frac{57}{70}$.\n\n7. Résolutions dans $\mathbb{R}$ déjà traitées précédemment pour $A=0$, $|A|=|2x - 3|$, $\frac{|A|}{|2x - 3|} =1$. \n\nLa réponse à la question 4 est donc $x + y = 6$.