1. Soat 7:30 da soat va minut millari orasidagi burchakni topish. Soat mili har bir soatda 30° harakat qiladi, minut mili esa har bir daqiqada 6° harakat qiladi. Soat mili 7 soat va 30 daqiqadan keyin harakat qiladi: $$7 \times 30° + \frac{30}{60} \times 30° = 210° + 15° = 225°$$ Minut mili 30 daqiqada joylashadi: $$30 \times 6° = 180°$$ Burchak: $$|225° - 180°| = 45°$$ 2. Dono va Go'zal yoshlari farqini topish. Belgilaymiz: Dono yoshi: $x$ Go'zal yoshi: $y$ Shartlar: - Ikki yil oldin yoshlar farqi 7: $y-2 - (x-2) = 7 \Rightarrow y - x = 7$ - Hozirgi yoshlar yig'indisi 9: $x + y = 9$ - Go'zal Donodan katta: $y > x$ Tenglama sistemasini yechamiz: $$y - x = 7$$ $$x + y = 9$$ Qo'shish orqali: $$2y = 16 \Rightarrow y = 8$$ $$x = 9 - 8 = 1$$ Dononing hozirgi yoshi $1$ emas, javob variantlarida $1$ yo'q, tekshirib topamiz. Agar Dono $1$ bo'lsa, yoshlar farqi $7$ bo'lishi kerak, shartga mos emas. Variantni tekshiramiz: Agar Dono $2$, Go'zal $7$, yoshlar farqi $5$, to'g'ri kelmaydi. Javob $2$ emas. 3. Otaning hozirgi yoshini topish. Belgilash: Otaning yoshi: $O$ Farzandlar yoshlar yig'indisi: $F$ Shartlar: $$O = 3F$$ 4 yildan keyin: $$O + 4 = 2(F + 4 imes 3)$$ (farzandlarning yoshi yig'indisi 3 farzand uchun $F + 12$) Tenglamani yechamiz: $$O + 4 = 2(F + 12)$$ $$3F + 4 = 2F + 24$$ $$3F - 2F = 24 - 4$$ $$F = 20$$ Demak: $$O = 3 imes 20 = 60$$ Otaning yoshi $60$ ga teng. 4. Akasining yoshini topish. Belgilash: Aka: $A$ Uka: $U$ Shartlar: $$A - U = 5$$ Aka ukasining yoshida bo'lganda ularning yoshlar yig'indisi 23 edi. Javobni tenglama orqali topamiz: $$A = U + 5$$ $$A - (A - 5) + A = 23$$ $$A + (A - 5) = 23$$ $$2A - 5 = 23$$ $$2A = 28$$ $$A = 14$$ Akaing hozirgi yoshi $14$. 5. Tuxumfurushning eng kam tuxum sonini topish. Tuxumlar soni $N$ Har bir bo'linishda 2 ta tuxum ortmoqda: $$N \equiv 2 \pmod{4}, N \equiv 2 \pmod{5}, N \equiv 2 \pmod{6}$$ $$N - 2$$ bo'linadi 4, 5, 6 ga 4, 5, 6 ning eng kichik umumiy ko'paytmasi: $$\mathrm{EKUK}(4,5,6) = 60$$ Shunday ekan: $$N - 2 = 60k$$ Eng kichik $k=1$, shunda $$N = 60 + 2 = 62$$ Tuxumlar soni $62$ ta. 14. Og'irligi jism yerda 1, Oydagi og'irligini topish. Shart bo'yicha: $$Og'irlik_{Oy} = 0.16 \times Og'irlik_{Yer}$$ Agar $Og'irlik_{Oy} = 32$, topamiz: $$32 = 0.16 \times Og'irlik_{Yer}$$ $$Og'irlik_{Yer} = \frac{32}{0.16} = 200$$ 15. Futbol chempionatida jamoa sonini topish. $n$ jamoa bo'lsa, o'yinlar soni: $$\frac{n(n-1)}{2} = 91$$ Tenglama: $$n^2 - n - 182 = 0$$ Diskriminant: $$D = 1 + 4 \times 182 = 1 + 728 = 729$$ $$\sqrt{D} = 27$$ $$n = \frac{1 + 27}{2} = 14$$ Javob $14$ ta jamoa. 21. Girlsning sinfdagi umumiy salomlashish soni. $n=14$ bola bor. Umumiy salomlashish soni: $$\frac{n(n-1)}{2} = \frac{14 \times 13}{2} = 91$$ Javob: $91$. 23. Ota va bolaning hozirgi yosh yig'indisini topish. Belgilash: Ota yoshi: $O$ Bola yoshi: $B$ Shartlar: $$O - B = 28$$ 5 yildan keyin: $$O + 5 = 4.5(B + 5)$$ Tenglamalarni yechamiz: $$O = B + 28$$ $$B + 28 + 5 = 4.5B + 22.5$$ $$B + 33 = 4.5B + 22.5$$ $$33 - 22.5 = 4.5B - B$$ $$10.5 = 3.5B$$ $$B = 3$$ $$O = 3 + 28 = 31$$ Hozirgi yoshlar yig'indisi: $$O + B = 31 + 3 = 34$$