1. প্রথম প্রশ্ন: ক একটি কাজ ২৫ দিনে করে। যদি খ ক-এর চাইতে ২৫% বেশি কর্মক্ষম হয়, তবে খ কাজটি কত দিনে করতে পারে তা নির্ণয় করব। 2. কর্মক্ষমতার সাথে কাজের সময়ের পারস্পরিক সম্পর্ক: যদি কর্মক্ষমতা বেশি হয়, তাহলে কাজের সময় কম হয়। 3. ক-এর কর্মক্ষমতা ধরা যাক $1$ ইউনিট, তাহলে খ-এর কর্মক্ষমতা হবে $1+0.25=1.25$ ইউনিট। 4. কাজের দিন সংখ্যা 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ক  25 দিন। কাজের পরিমাণ ধরা যাক $W$। 5. কাজের পরিমাণ = কর্মক্ষমতা $ imes$ সময়, তাই $$W = 1 imes 25 = 25$$ 6. খ-এর জন্য, $$W = 1.25 imes t$$ যেখানে $t$ হলো খ-এর কাজের দিন সংখ্যা। 7. সমীকরণ থেকে, $$25 = 1.25 imes t$$ $$t = \frac{25}{1.25} = 20$$ দিন। সুতরাং, খ কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। 8. দ্বিতীয় প্রশ্ন: $x + y = 12$ এবং $x - y = 2$ হলে, $xy$ এর মান। 9. $x + y = 12$ এবং $x - y = 2$ সমীকরণ দুটি যোগ করুন: $$2x = 14 \\ x = 7$$ 10. $x=7$ ব্যবহার করে প্রথম সমীকরণ থেকে, $$7 + y = 12 \\ y = 5$$ 11. $xy = 7 imes 5 = 35$। 12. তৃতীয় প্রশ্ন: $a^3 - b^3 = 513$ এবং $a - b = 3$ হলে $ab$ এর মান। 13. সূত্র অনুযায়ী, $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$ 14. দেওয়া তথ্য দিয়ে, $$513 = 3(a^2 + ab + b^2) \\ a^2 + ab + b^2 = 171$$ 15. আরেকভাবে লিখলে, $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 9$$ 16. তাই, $$a^2 + b^2 = 9 + 2ab$$ 17. $a^2 + ab + b^2 = 171$ থেকে $$ (a^2 + b^2) + ab = 171$$ $$ (9 + 2ab) + ab = 171$$ $$ 9 + 3ab = 171$$ 18. সমাধান, $$3ab = 171 - 9 = 162 \\ ab = 54$$ 19. চতুর্থ প্রশ্ন: $a + b + c = 0$ হলে $a^3 + b^3 + c^3$ এর মান। 20. সূত্র অনুযায়ী, $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$ 21. কারণ $a + b + c=0$, তাই $$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$ 22. পঞ্চম প্রশ্ন: $2x^2 - x - 3$ এর উৎপাদক। 23. উৎপাদকের জন্য ফ্যাক্টরাইজেশন করব: 24. $2x^2 - x - 3$ কে ফ্যাক্টর করি: $$2x^2 - x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$$ সুতরাং, সঠিক বিকল্প হল (2x + 3)(x - 1)। 25. ষষ্ঠ প্রশ্ন: $(2 + x) + 3 = 3(x + 2)$ থেকে $x$ এর মান। 26. সমীকরণটি সরল করে লিখি: $$2 + x + 3 = 3x + 6$$ $$x + 5 = 3x + 6$$ $$5 - 6 = 3x - x$$ $$-1 = 2x$$ $$x = -\frac{1}{2}$$ **উত্তর:** 1) খ কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। 2) $xy$ এর মান ৩৫। 3) $ab$ এর মান ৫৪। 4) $a^3 + b^3 + c^3$ এর মান $3abc$। 5) $2x^2 - x - 3$ এর উৎপাদক $(2x + 3)(x - 1)$। 6) $x$ এর মান $-\frac{1}{2}$।