1. **بيان المشكلة:** لدينا الدالة $f(x)=\frac{2x}{1+|x|}$. نريد أن نثبت أن $f$ دالة متزايدة على مجال غير محدود. 2. **تحليل الدالة:** الدالة معرفة على $\mathbb{R}$ لأن المقام $1+|x|$ دائمًا موجب. 3. **درس حالة الإشارة:** \- عندما $x \geq 0$، $|x|=x$ والدالة تصبح: $$f(x) = \frac{2x}{1+x}$$ \- عندما $x < 0$، $|x|=-x$ والدالة تصبح: $$f(x) = \frac{2x}{1 - x}$$ 4. **عدم استعمال المشتقة (طريقة الأولى):** \- على $[0,+\infty)$، $f(x) = \frac{2x}{1+x}$. نثبت أنها متزايدة بحساب الفرق: \text{خذ } x_2 > x_1 \geq 0, \quad f(x_2)-f(x_1) = \frac{2x_2}{1+x_2}-\frac{2x_1}{1+x_1} = \frac{2x_2(1+x_1)-2x_1(1+x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{2(x_2+x_1x_2 - x_1 - x_1x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{2(x_2 - x_1)}{(1+x_1)(1+x_2)} > 0$$ \- على $(-\infty, 0)$، $f(x) = \frac{2x}{1-x}$. \text{خذ } x_2 > x_1, x_2,x_1<0: $$f(x_2)-f(x_1) = \frac{2x_2}{1-x_2} - \frac{2x_1}{1-x_1} = \frac{2x_2(1 - x_1) - 2x_1(1 - x_2)}{(1 - x_2)(1 - x_1)} = \frac{2(x_2 - x_1)}{(1 - x_2)(1 - x_1)} > 0$$ 5. **الاستنتاج الأول:** الدالة $f$ متزايدة على كل من $(-\infty,0)$ و $[0,+\infty)$. 6. **الاستمرارية عند الصفر وفحص حدود المتجاور:** نلاحظ: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{1 - x} = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{1 + x} = 0$$ ونجد $f(0)=0$، إذن الدالة متصلة عند 0. 7. **بما أن $f$ متزايدة على كل مجالين متصلين وتنطبق عليه توصيفات التزايد، تكون $f$ متزايدة على كلها $\mathbb{R}$**. --- 8. **برهان على التعاقب $(f_n)$ المستنتج للحد المتناهي:** لو ثبتنا انسحاب أو نظرنا إلى المتتالية: $$f_n = f(n) = \frac{2n}{1 + |n|}$$ - عندما $n \to +\infty$: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{1+n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\frac{1}{n} + 1} = 2$$ - عندما $n \to -\infty$: $$\lim_{n \to -\infty} \frac{2n}{1 - n} = \lim_{n \to -\infty} \frac{2n}{1 - n} = \lim_{n \to -\infty} \frac{2}{\frac{1}{n} - 1} = -2$$ 9. **الاستنتاج النهائي:** الدالة $f$ متزايدة على كل الأعداد الحقيقية. الحد المتناهي لـ $f(x)$ عند $+\infty$ هو 2 وعند $-\infty$ هو -2. **الإجابة:** \( f \) متزايدة على مجال غير محدود هو $\mathbb{R}$. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \), \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2 \).