1. مسئله را بیان می‌کنیم: (ب) مقدار ماکزیمم یا مینیمم تابع $$f(x) = -(x + 1)^2 - 3$$ را پیدا کنید. (الف) معادله $$\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1}{x^2 + x}$$ را حل کنید و جواب‌های قابل قبول را مشخص کنید. 2. برای قسمت (ب) تابع را بررسی می‌کنیم: تابع به صورت $$f(x) = -(x + 1)^2 - 3$$ است. این یک تابع درجه دوم با ضریب منفی برای جمله درجه دوم است، پس نمودار آن یک سهمی باز شده به سمت پایین است. 3. برای یافتن مقدار ماکزیمم یا مینیمم، ابتدا نقطه راس سهمی را پیدا می‌کنیم. تابع به صورت $$f(x) = - (x+1)^2 - 3$$ نوشته شده است که راس آن در نقطه $$x = -1$$ است. 4. مقدار تابع در راس: $$f(-1) = -(-1 + 1)^2 - 3 = -0 - 3 = -3$$ 5. چون ضریب جمله درجه دوم منفی است، این مقدار یک ماکزیمم است. پس مقدار ماکزیمم تابع برابر $$-3$$ است. 6. برای قسمت (الف) معادله را حل می‌کنیم: $$\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1}{x^2 + x}$$ 7. ابتدا مخرج مشترک را بررسی می‌کنیم: $$x^2 + x = x(x+1)$$ 8. معادله را به صورت یک کسر با مخرج مشترک $$x(x+1)$$ می‌نویسیم: $$\frac{(x+1)}{x(x+1)} - \frac{x(x-1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$$ 9. صورت کسر سمت چپ را ساده می‌کنیم: $$(x+1) - x(x-1) = (x+1) - (x^2 - x) = x + 1 - x^2 + x = -x^2 + 2x + 1$$ 10. معادله به شکل زیر تبدیل می‌شود: $$\frac{-x^2 + 2x + 1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$$ 11. چون مخرج‌ها برابرند و مخرج‌ها نباید صفر باشند (مقدارهای ممنوع: $$x=0$$ و $$x=-1$$)، صورت‌ها را برابر قرار می‌دهیم: $$-x^2 + 2x + 1 = 1$$ 12. معادله را ساده می‌کنیم: $$-x^2 + 2x + 1 - 1 = 0 \Rightarrow -x^2 + 2x = 0$$ 13. معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$-x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x^2 - 2x = 0$$ 14. عامل‌گیری: $$x(x - 2) = 0$$ 15. جواب‌ها: $$x = 0$$ یا $$x = 2$$ 16. مقدارهای ممنوع را بررسی می‌کنیم: $$x=0$$ ممنوع است چون مخرج صفر می‌شود. $$x=2$$ قابل قبول است. پاسخ نهایی: (ب) مقدار ماکزیمم تابع $$f(x) = -(x + 1)^2 - 3$$ برابر $$-3$$ است که در $$x = -1$$ رخ می‌دهد. (الف) جواب معادله $$x = 2$$ است.