1. **Énoncé du problème :** Montrer les propriétés de diagonalisation et valeurs propres pour des matrices données. --- ### Exercice 1 1. Montrer que si $M$ est diagonalisable alors $M^2 + M$ est diagonalisable. **Formule et rappel :** Si $M = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $M^2 + M = P(D^2 + D)P^{-1}$ est aussi diagonalisable car $D^2 + D$ est diagonale. **Détail :** - $M$ diagonalisable signifie qu'il existe une base dans laquelle $M$ est représentée par une matrice diagonale $D$. - Calculons $M^2 + M = P D^2 P^{-1} + P D P^{-1} = P (D^2 + D) P^{-1}$. - Comme $D^2 + D$ est diagonale, $M^2 + M$ est diagonalisable. 2. Montrer que si $orall i, \\lambda = \sum_{k=1}^n a_{ik}$ alors $\lambda$ est une valeur propre de $M$. **Rappel :** - La somme des coefficients de chaque ligne est égale à $\lambda$. - Considérons le vecteur $e = (1,1,...,1)^T$. - Alors $M e = \lambda e$, donc $\lambda$ est valeur propre. 3. Montrer que $\lambda = 3$ est une valeur propre de la matrice $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$ **Méthode directe :** - Calculons $M e$ avec $e = (1,1,1)^T$ : $$ M e = \begin{pmatrix}1+2+0 \\ 1+1+1 \\ 1-1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 e $$ - Donc $3$ est valeur propre. --- ### Exercice 2 Soit $M = \begin{pmatrix} a & c \\ c & b \end{pmatrix}$. 1. Trouver le polynôme caractéristique : $$ \chi_M(\lambda) = \det(M - \lambda I) = (a - \lambda)(b - \lambda) - c^2 = \lambda^2 - (a+b)\lambda + (ab - c^2) $$ 2. Déterminer les valeurs propres selon $a,b,c$ : $$ \lambda = \frac{a+b \pm \sqrt{(a+b)^2 - 4(ab - c^2)}}{2} = \frac{a+b \pm \sqrt{(a-b)^2 + 4c^2}}{2} $$ 3. Montrer que $M$ n’est pas diagonalisable si $a=1$, $b=-1$, $c=i$. - Calculons le discriminant : $$ \Delta = (1 - (-1))^2 + 4 (i)^2 = (2)^2 + 4(-1) = 4 - 4 = 0 $$ - Valeur propre unique : $$ \lambda = \frac{1 -1}{2} = 0 $$ - Calculons $M - 0 I = M$ : $$ \begin{pmatrix}1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix} $$ - Le rang est 1, donc la dimension du noyau est 1, inférieure à la multiplicité algébrique 2. - Donc $M$ n’est pas diagonalisable. --- ### Exercice 3 Soit $f_m(x,y,z) = (x, x + y + 2z, x + mz)$. 1. Matrice $A_m$ dans la base canonique : $$ A_m = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix} $$ 2. Polynôme caractéristique : $$ \chi_{A_m}(\lambda) = \det(A_m - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 2 \\ 1 & 0 & m - \lambda \end{pmatrix} $$ Calculons : $$ = (1-\lambda) \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & m - \lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)(m-\lambda) - 0) = (1-\lambda)^2 (m-\lambda) $$ 3. Valeurs propres distinctes selon $m$ : - Les racines sont $\lambda = 1$ (double) et $\lambda = m$. - Si $m \neq 1$, valeurs propres distinctes sont $1$ et $m$. - Si $m=1$, valeur propre unique $1$ de multiplicité 3. --- **Réponses finales :** - Ex1: $M^2 + M$ diagonalisable si $M$ l’est. - Ex1: $\lambda = \sum_k a_{ik}$ est valeur propre. - Ex1: $\lambda=3$ est valeur propre de la matrice donnée. - Ex2: $\chi_M(\lambda) = \lambda^2 - (a+b)\lambda + (ab - c^2)$. - Ex2: Valeurs propres $\frac{a+b \pm \sqrt{(a-b)^2 + 4c^2}}{2}$. - Ex2: $M$ non diagonalisable si $a=1,b=-1,c=i$. - Ex3: $A_m = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix}$. - Ex3: $\chi_{A_m}(\lambda) = (1-\lambda)^2 (m-\lambda)$. - Ex3: Valeurs propres distinctes selon $m$ sont $1$ (double) et $m$.