Matrice Passage E65201

1. **Énoncé du problème :** Dans $\mathbb{R}^3$ muni de la base canonique $B = (e_1, e_2, e_3)$, on définit $u_1 = (1,0,1)$, $u_2 = (0,1,1)$ et $u_3 = (1,1,0)$. Montrer que $B' = (u_1, u_2, u_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. 2. **Formule et règles importantes :** Une famille de vecteurs est une base si elle est libre et engendre l'espace. Pour vérifier la liberté, on vérifie que le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs est non nul. 3. **Calcul du déterminant :** On forme la matrice $M = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ où chaque colonne est un vecteur $u_i$. Calculons $\det(M)$ : $$\det(M) = 1 \times (1 \times 0 - 1 \times 1) - 0 \times (0 \times 0 - 1 \times 1) + 1 \times (0 \times 1 - 1 \times 1) = 1 \times (0 - 1) - 0 + 1 \times (0 - 1) = -1 - 1 = -2$$ 4. **Interprétation :** Le déterminant est $-2 \neq 0$, donc les vecteurs $u_1, u_2, u_3$ sont linéairement indépendants et forment une base de $\mathbb{R}^3$. --- 1) **Écrire la matrice de passage $P$ de $B$ à $B'$ :** La matrice de passage $P$ a pour colonnes les vecteurs $u_1, u_2, u_3$ exprimés dans la base $B$ : $$P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ 2) **Calcul de $P^{-1}$ :** On calcule l'inverse de $P$. Le déterminant $\det(P) = -2$ (déjà calculé). La matrice adjointe $\mathrm{adj}(P)$ est la transposée de la matrice des cofacteurs : Cofacteurs : - $C_{11} = \det \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = (1 \times 0 - 1 \times 1) = -1$ - $C_{12} = -\det \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = - (0 \times 0 - 1 \times 1) = 1$ - $C_{13} = \det \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = 0 \times 1 - 1 \times 1 = -1$ - $C_{21} = -\det \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = 1$ - $C_{22} = \det \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = -1$ - $C_{23} = -\det \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = - (1 \times 1 - 0 \times 1) = -1$ - $C_{31} = \det \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = 0 \times 1 - 1 \times 1 = -1$ - $C_{32} = -\det \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = - (1 \times 1 - 1 \times 0) = -1$ - $C_{33} = \det \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = 1$ Donc, $$\mathrm{adj}(P) = \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$ Enfin, $$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \mathrm{adj}(P) = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ --- 3) **Coordonnées de $v = (1, 2, 3)$ dans la base $B'$ :** On a $[v]_{B'} = P^{-1} [v]_B$ où $[v]_B = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$. Calcul : $$[v]_{B'} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 3 \\ -\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 3 \\ \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 - \frac{1}{2} \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$$ Donc, les coordonnées de $v$ dans $B'$ sont $(1, 2, 0)$. --- 4) **Coordonnées de $W = (1, 1, -1)$ dans la base $B$ à partir de $B'$ :** On a $[W]_B = P [W]_{B'}$ avec $[W]_{B'} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$. Calcul : $$[W]_B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times (-1) \\ 0 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times (-1) \\ 1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - 1 \\ 1 - 1 \\ 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$$ Donc, les coordonnées de $W$ dans la base canonique $B$ sont $(0, 0, 2)$. --- **Réponse finale :** - $B' = (u_1, u_2, u_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ car $\det(P) = -2 \neq 0$. - Matrice de passage $P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$. - Inverse $P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$. - Coordonnées de $v = (1,2,3)$ dans $B'$ : $(1, 2, 0)$. - Coordonnées de $W = (1,1,-1)$ dans $B$ : $(0, 0, 2)$.