1. Calculons les expressions demandées : - $\sqrt{49} - 2\sqrt{36} = 7 - 2 \times 6 = 7 - 12 = -5$ - $\sqrt{\frac{144}{4}} + \sqrt{\frac{8}{4}} : \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{9}{27}}$ Calculons chaque partie : $\sqrt{\frac{144}{4}} = \sqrt{36} = 6$ $\sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$ $\sqrt{5} \times \sqrt{\frac{9}{27}} = \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ Donc l'expression complète est $6 + \sqrt{2} : \sqrt{\frac{5}{3}} = 6 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{5}{3}}} = 6 + \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{3}{5}} = 6 + \sqrt{\frac{6}{5}}$ 2. Simplifions : A = $5\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{8} - 5\sqrt{3} = 5\sqrt{2} - (3+5)\sqrt{3} + 4 \times 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 8\sqrt{3} + 8\sqrt{2} = (5+8)\sqrt{2} - 8\sqrt{3} = 13\sqrt{2} - 8\sqrt{3}$ B = $12\sqrt{80} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{125} = 12 \times 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 3 \times 5\sqrt{5} = 48\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 15\sqrt{5} = (48+3-15)\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$ C = $\sqrt{20} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{45} \times \sqrt{25} = \frac{1}{3} \times \sqrt{20 \times 45 \times 25} = \frac{1}{3} \times \sqrt{22500} = \frac{1}{3} \times 150 = 50$ 3. Éliminons les radicaux au dénominateur : - $\frac{4}{\sqrt{17}} \times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ - $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{4}}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{4} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ 4. Soit $A = (4\sqrt{7} + 2)^2$ (a) Développons : $A = (4\sqrt{7})^2 + 2 \times 4\sqrt{7} \times 2 + 2^2 = 16 \times 7 + 16\sqrt{7} + 4 = 112 + 16\sqrt{7} + 4 = 116 + 16\sqrt{7}$ (b) Donc $\sqrt{116 + 16\sqrt{7}} = 4\sqrt{7} + 2$ 5. Résolvons les équations : - $x^2 = 17 \Rightarrow x = \pm \sqrt{17}$ - $x^2 = -2$ n'a pas de solution réelle car $x^2$ est toujours positif ou nul - $x^2 + 2 = 1 \Rightarrow x^2 = -1$ pas de solution réelle - $3x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$ Exercice 2 : 1. Développement: A = $7x(3x - 2) + (2 - 3x)(7x + 3)$ $= 21x^2 -14x + 14x + 6 - 21x^2 - 9x = 6 - 9x$ B = $17\sqrt{35} + 2\sqrt{5}(\sqrt{5} - 3\sqrt{7})$ $= 17\sqrt{35} + 2(5 - 3\sqrt{35}) = 17\sqrt{35} + 10 - 6\sqrt{35} = (17 - 6)\sqrt{35} + 10 = 11\sqrt{35} + 10$ C = $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ $= (5 - 3) - (3 + 2\sqrt{15} + 5) = 2 - (8 + 2\sqrt{15}) = 2 - 8 - 2\sqrt{15} = -6 - 2\sqrt{15}$ 2. Factorisation: A = $16x^3y + 4x^3y^3 - 8x^2y^2 = 4x^2y(4xy + xy^2 - 2y)$ B = $(3y - 7)(5y - 4) - 6y(3y - 7) = (3y - 7)(5y - 4) - 6y(3y - 7)$ Factorisons $(3y - 7)$: $= (3y - 7)(5y - 4) - 6y(3y - 7) = (3y - 7)(5y - 4 - 6y) = (3y - 7)(-y - 4)$ C = $x^2 - 3 + (x - \sqrt{3})(3\sqrt{3} - 5)$ Développons : $(x - \sqrt{3})(3\sqrt{3} - 5) = 3\sqrt{3}x - 5x - 3 \times 3 + 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}x - 5x - 9 + 5\sqrt{3}$ Donc $C = x^2 - 3 + 3\sqrt{3}x - 5x - 9 + 5\sqrt{3} = x^2 + 3\sqrt{3}x - 5x + ( -3 - 9 + 5\sqrt{3}) = x^2 + (3\sqrt{3} - 5)x + ( -12 + 5\sqrt{3})$ On ne peut pas factoriser plus sans valeurs numériques.