1. Se plantea resolver cada ecuación logarítmica dada paso a paso. **a)** $$\log_2 2 + \log(11 - x^3) = \frac{2}{\log(5 - x)}$$ - Primero, simplificamos $$\log_2 2 = 1$$ porque cualquier logaritmo de su base a sí misma vale 1. - Reescribimos la ecuación: $$1 + \log(11 - x^3) = \frac{2}{\log(5 - x)}$$ - Multiplicamos ambos lados por $$\log(5 - x)$$ para eliminar el denominador: $$\log(5 - x) + \log(11 - x^3)\log(5 - x) = 2$$ - Esta ecuación es no lineal y complicada, se recomienda usar métodos numéricos para encontrar soluciones válidas, cuidando el dominio de los logaritmos: $$11 - x^3 > 0 \Rightarrow x^3 < 11$$ $$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$$ 2. **b)** $$2 \log x = 3 + \log 10$$ - Sabemos que $$\log 10 = 1$$ en base 10. - La ecuación queda: $$2 \log x = 3 + 1 = 4$$ - Dividimos ambos lados por 2: $$\log x = 2$$ - Convertimos de logaritmo a exponencial: $$x = 10^{2} = 100$$ 3. **c)** $$\log x + \log(x + 3) = 2 \log x + 1$$ - Usamos la propiedad $$\log a + \log b = \log(ab)$$: $$\log (x(x+3)) = 2 \log x + 1$$ - Expandimos y reordenamos: $$\log (x^2 + 3x) = \log x^{2} + 1$$ - Podemos escribir $$1 = \log 10$$, así que: $$\log (x^2 + 3x) = \log (10 x^2)$$ - Igualamos los argumentos porque las bases son iguales: $$x^2 + 3x = 10 x^2$$ - Simplificamos: $$3x = 9 x^2$$ $$3x - 9 x^2 = 0$$ $$3x(1 - 3x) = 0$$ - Soluciones: $$x=0$$ (descartado porque el logaritmo no está definido), y $$x = \frac{1}{3}$$ 4. **d)** $$\log(x^2 + 1) - \log(x) = 1$$ - Aplicamos la propiedad $$\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$$: $$\log \left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) = 1$$ - Convertimos: $$\frac{x^2 + 1}{x} = 10^1 = 10$$ - Multiplicamos ambos lados por $$x$$: $$x^2 + 1 = 10x$$ - Ecuación cuadrática: $$x^2 - 10x + 1 = 0$$ - Usamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4 \sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2 \sqrt{6}$$ - Validamos porque $$x > 0$$ para dominio del logaritmo, ambas soluciones positivas son válidas. 5. **e)** $$\log_2(9 x^2 - 20) - \log_5(x) - \log_2(6) = 2$$ - Combinamos los términos con base 2: $$\log_2 \left(\frac{9 x^2 - 20}{6}\right) - \log_5(x) = 2$$ - Sabemos que $$2 = \log_2 4$$: $$\log_2 \left(\frac{9 x^2 - 20}{6}\right) - \log_5(x) = \log_2 4$$ - Pasamos $$\log_5(x)$$ al otro lado: $$\log_2 \left(\frac{9 x^2 - 20}{6}\right) = \log_2 4 + \log_5(x)$$ - Para manejo sencillo, convertimos $$\log_5(x)$$ a base 2 usando cambio de base: $$\log_5(x) = \frac{\log_2 x}{\log_2 5}$$ - Entonces: $$\log_2 \left(\frac{9 x^2 - 20}{6}\right) - \log_2 4 = \frac{\log_2 x}{\log_2 5}$$ - Simplificamos lado izquierdo con propiedad $$\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$$: $$\log_2 \left(\frac{9 x^2 - 20}{24}\right) = \frac{\log_2 x}{\log_2 5}$$ - Sea $$y=\log_2 x$$. Entonces la ecuación es: $$\log_2 (\frac{9 (2^y)^2 - 20}{24}) = \frac{y}{\log_2 5}$$ - Resolver esta ecuación requiere métodos numéricos para $$y$$, luego determinar $$x = 2^y$$. **Respuesta final:** a) Solución mediante métodos numéricos con dominio: $$x < 5$$ y $$x^3 < 11$$. b) $$x = 100$$ c) $$x = \frac{1}{3}$$ d) $$x = 5 \pm 2 \sqrt{6}$$ e) Solución por métodos numéricos para $$x > 0$$.