1. El problema es calcular la expresión $$\log_{\sqrt{7}} \sqrt[7]{343} + \log_{3\sqrt{4}} \sqrt[3]{16} + \log_{4\sqrt{3}} \sqrt[4]{27}$$. 2. Recordemos que $$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$ y que $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$. 3. Simplificamos cada término: - Para $$\log_{\sqrt{7}} \sqrt[7]{343}$$: - $$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$$ - $$\sqrt[7]{343} = 343^{\frac{1}{7}}$$ - Sabemos que $$343 = 7^3$$, entonces $$343^{\frac{1}{7}} = (7^3)^{\frac{1}{7}} = 7^{\frac{3}{7}}$$ - Por lo tanto, $$\log_{7^{\frac{1}{2}}} 7^{\frac{3}{7}} = \frac{\frac{3}{7} \log 7}{\frac{1}{2} \log 7} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{7} \times 2 = \frac{6}{7}$$. - Para $$\log_{3\sqrt{4}} \sqrt[3]{16}$$: - $$3\sqrt{4} = 3 \times 4^{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$$ - $$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}}$$ y $$16 = 2^4$$, entonces $$16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$ - Por lo tanto, $$\log_6 2^{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{4}{3} \log 2}{\log 6}$$. - Para $$\log_{4\sqrt{3}} \sqrt[4]{27}$$: - $$4\sqrt{3} = 4 \times 3^{\frac{1}{2}}$$ - $$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}}$$ y $$27 = 3^3$$, entonces $$27^{\frac{1}{4}} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$$ - Por lo tanto, $$\log_{4 \times 3^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4} \log 3}{\log 4 + \frac{1}{2} \log 3}$$. 4. Ahora sumamos los tres resultados: $$\frac{6}{7} + \frac{\frac{4}{3} \log 2}{\log 6} + \frac{\frac{3}{4} \log 3}{\log 4 + \frac{1}{2} \log 3}$$ 5. Para simplificar los términos con logaritmos, podemos usar valores aproximados o dejar la expresión así, ya que no se especifica calcular numéricamente. Respuesta final: $$\boxed{\frac{6}{7} + \frac{\frac{4}{3} \log 2}{\log 6} + \frac{\frac{3}{4} \log 3}{\log 4 + \frac{1}{2} \log 3}}$$