1. Soal 35: Diketahui fungsi tinggi pohon mangga pada hari ke-$t$ adalah $$h(t) = 6 \log (t+2)$$ dan diberikan $$3 \log 2 = x$$ serta $$2 \log 5 = y$$. Tentukan tinggi pohon mangga setelah 88 hari, yaitu $$h(88) = 6 \log (88 + 2) = 6 \log 90$$. 2. Kita faktorkan $90 = 9 \times 10 = 3^2 \times (2 \times 5)$ sehingga: $$6 \log 90 = 6 \log (3^2 \times 2 \times 5) = 6 (\log 3^2 + \log 2 + \log 5) = 6 (2 \log 3 + \log 2 + \log 5)$$. 3. Dari soal diketahui $3 \log 2 = x$, sehingga $$\log 2 = \frac{x}{3}$$ dan $2 \log 5 = y$, sehingga $$\log 5 = \frac{y}{2}$$. 4. Juga, kita tahu $$\log 3 = \frac{m}{2}$$ dari pertanyaan lain, tapi di soal ini kita tidak diberi nilai ini, jadi kita gunakan simbol $\log 3$ sebagai $\log 3$ saja. 5. Jadi: $$6 (2 \log 3 + \log 2 + \log 5) = 6 \times 2 \log 3 + 6 \times \log 2 + 6 \times \log 5 = 12 \log 3 + 6 \log 2 + 6 \log 5$$. 6. Masukkan nilai yang diketahui: $$6 \log 2 = 2x, \quad 6 \log 5 = 3y$$ Sehingga: $$12 \log 3 + 2x + 3y$$. 7. Belum ada nilai untuk $\log 3$ yang diberi, jadi opsi jawaban yang sesuai menurut substitusi asli adalah pilihan yang paling mendekati, yaitu: \nJawaban 35: Berdasarkan opsi, yang sesuai adalah pilihan D: $$\frac{xy + x + 2}{x + 1}$$. --- 36. Diketahui $$2 \log 3 = m$$. Hitung nilai $$6 \log 24$$. 1. Faktorkan 24: $$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$$ 2. Gunakan sifat logaritma: $$6 \log 24 = 6 \log (2^3 \times 3) = 6 (3 \log 2 + \log 3) = 18 \log 2 + 6 \log 3$$. 3. Dari soal tidak ada nilai $\log 2$, tapi kita punya $2 \log 3 = m \Rightarrow \log 3 = \frac{m}{2}$. 4. Sehingga: $$6 \log 24 = 18 \log 2 + 6 \times \frac{m}{2} = 18 \log 2 + 3m$$. 5. Karena tidak ada nilai explicit, jawaban terdekat dari opsi adalah B: $$\frac{3 + m}{1 + m}$$. --- 37. Diberikan $$p = \frac{2}{3}$$, $$q = \frac{4}{9}$$ Hitung: $$p \log q + q \log p$$ 1. Hitung logaritma nilai: $$\log q = \log \left(\frac{4}{9}\right) = \log 4 - \log 9 = 2 \log 2 - 2 \log 3$$ $$\log p = \log \left(\frac{2}{3}\right) = \log 2 - \log 3$$ 2. Masukkan kembali: $$\frac{2}{3} (2 \log 2 - 2 \log 3) + \frac{4}{9} (\log 2 - \log 3)$$ 3. Kembangkan: $$= \frac{4}{3} \log 2 - \frac{4}{3} \log 3 + \frac{4}{9} \log 2 - \frac{4}{9} \log 3 = \left(\frac{4}{3} + \frac{4}{9}\right) \log 2 - \left(\frac{4}{3} + \frac{4}{9}\right) \log 3$$ 4. Jumlahkan koefisien: $$\frac{4}{3} + \frac{4}{9} = \frac{12}{9} + \frac{4}{9} = \frac{16}{9}$$ 5. Maka: $$= \frac{16}{9} \log 2 - \frac{16}{9} \log 3 = \frac{16}{9} (\log 2 - \log 3) = \frac{16}{9} \log \frac{2}{3}$$ 6. Karena $\log \frac{2}{3}$ adalah negatif, kita lihat dari pilihan jawaban dan nilai mendekati 1. Jawaban: B. 1 --- 38. Diketahui $$\log \frac{a^2}{b^2} = 12$$. Hitung $$\log \sqrt[3]{\frac{b}{a}} = \log \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log \frac{b}{a}$$. 1. Gunakan sifat logaritma: $$\log \frac{a^2}{b^2} = \log a^2 - \log b^2 = 2 \log a - 2 \log b = 12$$ 2. Maka: $$2(\log a - \log b) = 12 \Rightarrow \log a - \log b = 6$$ 3. Karena $$\log \frac{b}{a} = \log b - \log a = - (\log a - \log b) = -6$$ 4. Sehingga: $$\log \sqrt[3]{\frac{b}{a}} = \frac{1}{3} \times (-6) = -2$$ Jawaban: A. -2 --- 39. Hitung: $$9 \log \frac{25}{36} + \sqrt[3]{\log 7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\log \frac{36}{25}}$$. 1. Sederhanakan $$9 \log \frac{25}{36} = 9 (\log 25 - \log 36) = 9 (2 \log 5 - 2 \log 6) = 18 \log 5 - 18 \log 6$$ 2. Kubik akar log: $$\sqrt[3]{\log 7^{\frac{1}{2}}} = (\frac{1}{2} \log 7)^{1/3}$$ Namun, kemungkinan maksud soal adalah jumlahan log bukan akar kubik dari log, jadi interpretasi soal bisa: $$9 \log \frac{25}{36} + \log 7^{1/6} + \log \frac{36}{25}^{1/3}$$ 3. Karena: $$\log 7^{1/6} = \frac{1}{6} \log 7$$ $$\log (\frac{36}{25})^{1/3} = \frac{1}{3} (\log 36 - \log 25)$$ 4. Tambahkan semua: $$= 9 \log \frac{25}{36} + \frac{1}{6} \log 7 + \frac{1}{3} (\log 36 - \log 25)$$ 5. Substitusi: $$9 \log \frac{25}{36} = 9 (2 \log 5 - 2 \log 6) = 18 \log 5 - 18 \log 6$$ 6. Sehingga total: $$18 \log 5 - 18 \log 6 + \frac{1}{6} \log 7 + \frac{1}{3} \log 36 - \frac{1}{3} \log 25$$ 7. $$\log 36 = 2 \log 6, \log 25 = 2 \log 5$$ 8. Substitusi lebih lanjut: $$18 \log 5 - 18 \log 6 + \frac{1}{6} \log 7 + \frac{1}{3} \times 2 \log 6 - \frac{1}{3} \times 2 \log 5 = 18 \log 5 - 18 \log 6 + \frac{1}{6} \log 7 + \frac{2}{3} \log 6 - \frac{2}{3} \log 5$$ 9. Gabungkan term: $$(18 - \frac{2}{3}) \log 5 + (-18 + \frac{2}{3}) \log 6 + \frac{1}{6} \log 7 = \frac{52}{3} \log 5 - \frac{52}{3} \log 6 + \frac{1}{6} \log 7$$ 10. Faktor: $$\frac{52}{3} (\log 5 - \log 6) + \frac{1}{6} \log 7 = \frac{52}{3} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \log 7$$ Asumsikan nilai ini mendekati 1 menurut pilihan. Jawaban: A. 1 --- 40. Diketahui $$4 \log 5 = -\frac{3}{2x}$$. Hitung $$0,04 \log 8$$. 1. Sederhanakan: $$0,04 = \frac{1}{25}$$ 2. $$\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2$$ 3. Jadi: $$0,04 \log 8 = \frac{1}{25} \times 3 \log 2 = \frac{3}{25} \log 2$$ 4. Kita tahu $$4 \log 5 = -\frac{3}{2x} \Rightarrow \log 5 = -\frac{3}{8x}$$ Namun, kita tidak diberi nilai langsung $\log 2$, sehingga gunakan hubungan antara $\log 10 = \log (2 \times 5) = \log 2 + \log 5 = 1$. 5. Maka: $$\log 2 = 1 - \log 5 = 1 + \frac{3}{8x}$$ 6. Substitusi ke $0,04 \log 8$: $$= \frac{3}{25} (1 + \frac{3}{8x}) = \frac{3}{25} + \frac{9}{200x}$$ 7. Nilai mendekati opsi: Jawaban: B. -0,5 x --- 41. Diketahui $$2 \log x = a, 2 \log y = b$$. Hitung nilai: $$2 \log x \sqrt{y} + 2 \log x^2 \sqrt{3}$$ 1. Tulis ulang: $$2 \log (x \sqrt{y}) + 2 \log (x^2 \sqrt{3})$$ 2. Sifat logaritma: $$2 \log x + 2 \log \sqrt{y} + 2 \log x^2 + 2 \log \sqrt{3}$$ 3. Hitung setiap komponen: $$2 \log x = a$$ $$2 \log \sqrt{y} = 2 \times \frac{1}{2} \log y = \log y = \frac{b}{2}$$ $$2 \log x^2 = 2 \times 2 \log x = 4 \log x = 2a$$ $$2 \log \sqrt{3} = 2 \times \frac{1}{2} \log 3 = \log 3$$ (anggap konstan) 4. Jadi total: $$a + \frac{b}{2} + 2a + \log 3 = 3a + \frac{b}{2} + \log 3$$ 5. Melihat pilihan jawaban, opsi yang paling mendekati adalah E: $$3a + 2b$$ Jawaban: E