1. مسئله: بررسی و مقایسه نامساوی‌ها و تساوی‌های داده شده شامل لگاریتم‌ها و توانی‌ها است. 2. ابتدا تعاریف و قواعد مهم را مرور می‌کنیم: - $\lg$ نشان‌دهنده لگاریتم پایه 2 است. - $\lg^a b$ یعنی $\left(\lg b\right)^a$. - $\lg^* n$ تابع لگاریتم تکراری است. - قوانین لگاریتم و توان به کار می‌روند، مانند: $$a^{\lg b} = b^{\lg a}$$ $$\lg (a^b) = b \lg a$$ 3. بررسی عبارت‌ها: - $n^{2 \lg (1 + \frac{1}{n})^n}$: ابتدا داخل لگاریتم را بررسی می‌کنیم: $$\lg \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = n \lg \left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ با تقریب: $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e$$ پس: $$n^{2 \lg (1 + \frac{1}{n})^n} = n^{2 n \lg (1 + \frac{1}{n})} \approx n^{2 n \cdot \frac{1}{n}} = n^2$$ - $2^{\lg n^{\lg^* n}}$: با استفاده از قانون لگاریتم: $$2^{\lg n^{\lg^* n}} = 2^{\lg^* n \cdot \lg n} = n^{\lg^* n}$$ - $\lg^{\lg n} \lg n$: ابتدا بازنویسی به صورت توانی با پایه 2: $$\lg^{\lg n} \lg n = 2^{\lg (\lg^{\lg n} \lg n)} = 2^{\lg n \cdot \lg \lg n} = n^{\lg \lg n}$$ 4. نامساوی‌ها و تساوی‌ها را با این بازنویسی‌ها مقایسه می‌کنیم: - $$2^{\lg n^{\lg^* n}} = n^{\lg^* n}$$ - $$\lg^{\lg n} \lg n = n^{\lg \lg n}$$ - $$n^{2 \lg (1 + \frac{1}{n})^n} \approx n^2$$ با توجه به رشد توابع لگاریتمی: $$\lg^* n < \lg \lg n < 2$$ پس: $$n^{\lg^* n} < n^{\lg \lg n} < n^2$$ 5. برای نامساوی جمع: $$\sum_{i=1}^n (\lg i!) < n \sum_{i=1}^n \lg i = \sum_{i=1}^n i \lg i$$ - سمت چپ مجموع لگاریتم فاکتوریل‌ها است. - سمت راست مجموعی از $i \lg i$ است که بزرگتر است. نتیجه: محاسبات با استفاده از قوانین لگاریتم و تقریب‌های نمایی انجام شده‌اند و ترتیب نامساوی‌ها بر اساس رشد توابع لگاریتمی و نمایی است.