1. Planteamos el problema: desarrollar la expresión $$\log(z^{3} \sqrt{x^{5} y})$$ usando propiedades logarítmicas, sin radicales ni exponentes dentro del logaritmo. 2. Recordemos que $$\sqrt{x^{5} y} = (x^{5} y)^{\frac{1}{2}}$$ y que el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos. 3. Aplicamos la propiedad del logaritmo del producto: $$\log(z^{3} \cdot (x^{5} y)^{\frac{1}{2}}) = \log(z^{3}) + \log((x^{5} y)^{\frac{1}{2}})$$ 4. Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia a cada término: $$\log(z^{3}) = 3 \log(z)$$ $$\log((x^{5} y)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \log(x^{5} y)$$ 5. Para $$\log(x^{5} y)$$ nuevamente usamos la propiedad del producto: $$\log(x^{5} y) = \log(x^{5}) + \log(y)$$ 6. Aplicando la propiedad del logaritmo de potencia a $$\log(x^{5})$$: $$\log(x^{5}) = 5 \log(x)$$ 7. Sustituyendo todo junto: $$3 \log(z) + \frac{1}{2} (5 \log(x) + \log(y)) = 3 \log(z) + \frac{5}{2} \log(x) + \frac{1}{2} \log(y)$$ Respuesta final: $$\boxed{3 \log(z) + \frac{5}{2} \log(x) + \frac{1}{2} \log(y)}$$