1. Resuelve la ecuación $\log 2 + \log(11 - x^2) = 2 \log(5 - x)$ Usamos propiedades de los logaritmos: $\log a + \log b = \log(ab)$ y $n \log a = \log(a^n)$. Entonces, la ecuación queda: $$\log\left(2(11 - x^2)\right) = \log\left((5 - x)^2\right)$$ Por igualdad de logaritmos (base 10), igualamos argumentos: $$2(11 - x^2) = (5 - x)^2$$ Desarrollamos: $$22 - 2x^2 = 25 - 10x + x^2$$ Pasamos todo a un lado: $$-2x^2 - x^2 + 10x + 22 - 25 = 0$$ $$-3x^2 + 10x - 3 = 0$$ Multiplicamos por -1: $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$ Aplicamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$$ Soluciones: $$x_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 2. Resuelve $2 \log x = 3 + \log 10$ Reescribimos $2 \log x = \log x^2$, así: $$\log x^2 = 3 + \log 10$$ Usamos $a + \log b = \log(10^a) + \log b = \log(10^a b)$: $$\log x^2 = \log(10^3 \cdot 10) = \log(10,000)$$ Igualamos argumentos: $$x^2 = 10,000$$ $$x = \pm 100$$ Pero $\log x$ solo está definido para $x > 0$, entonces: $$x = 100$$ 3. Resuelve $\log x + \log(x + 3) = 2 \log(x + 1)$ Combinar logaritmos: $$\log[x(x + 3)] = \log[(x+1)^2]$$ Igualamos argumentos: $$x^2 + 3x = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ Simplificamos: $$x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1$$ $$3x - 2x = 1$$ $$x = 1$$ Verificamos condiciones: $x > 0$, $x + 3 > 0$, $x + 1 > 0$ es válido. 4. Resuelve $\log(x^2 + 1) - \log x = 1$ Usamos $\log a - \log b = \log(\frac{a}{b})$: $$\log\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) = 1$$ Convertimos el 1 a logaritmo base 10: $$\log\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) = \log(10)$$ Igualamos argumentos: $$\frac{x^2 + 1}{x} = 10$$ Multiplicamos: $$x^2 + 1 = 10x$$ $$x^2 - 10x + 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$$ Condición: $x > 0$, ambos valores positivos. 5. Resuelve $\log_2(9x^2 - 20) - \log_2(x) - \log_2(6) = 2$ Usamos propiedades de logaritmos base 2: $$\log_2\left( \frac{9x^2 - 20}{6x} \right) = 2$$ Convertimos log a exponente: $$\frac{9x^2 - 20}{6x} = 2^2 = 4$$ Multiplicamos: $$9x^2 - 20 = 24x$$ Pasamos todo a un lado: $$9x^2 - 24x - 20 = 0$$ Aplicamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20)}}{18} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 720}}{18} = \frac{24 \pm \sqrt{1296}}{18} = \frac{24 \pm 36}{18}$$ Soluciones: $$x_1 = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}, \quad x_2 = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$$ Condición: $x > 0$, descartamos $x_2$.