1. Állítsuk fel az első egyenletet: $$\log(x+1) + \log(x-1) - \log(x-2) = \log 8$$ 2. Használjuk a logaritmus azonosságokat: $$\log a + \log b = \log(ab)$$ és $$\log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right)$$ 3. Így az egyenlet átalakul: $$\log\left(\frac{(x+1)(x-1)}{x-2}\right) = \log 8$$ 4. Mivel a logaritmus függvény injektív, az argumentumokat egyenlővé tesszük: $$\frac{(x+1)(x-1)}{x-2} = 8$$ 5. Szorozzuk meg mindkét oldalt $$x-2$$-vel (feltéve, hogy $$x \neq 2$$): $$(x+1)(x-1) = 8(x-2)$$ 6. Fejtsük ki a bal oldalt: $$x^2 - 1 = 8x - 16$$ 7. Hozzuk az összes tagot egy oldalra: $$x^2 - 1 - 8x + 16 = 0$$ $$x^2 - 8x + 15 = 0$$ 8. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet a gyökképlet segítségével: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$$ 9. Így a gyökök: $$x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3$$ 10. Ellenőrizzük, hogy a gyökök kielégítik-e a logaritmus értelmezési tartományát: - $$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$$ - $$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$$ - $$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$$ Tehát $$x > 2$$ kell legyen. 11. Mindkét gyök megfelel ennek a feltételnek, tehát a megoldások: $$\boxed{x = 3, 5}$$