1. Problem a): Bestäm linjens riktningskoefficient (k). Riktningskoefficienten mellan punkterna $(-2,p)$ och $(1,5)$ ges av $$k = \frac{5 - p}{1 - (-2)} = \frac{5 - p}{3}.$$ Enligt uppgift är riktningskoefficienten $4$. Alltså $$4 = \frac{5 - p}{3}.$$\n 2. Lös ekvation för $p$ genom att multiplicera båda sidor med $3$: $$12 = 5 - p,$$ vilket ger $$p = 5 - 12 = -7.$$\n 3. Problem b): Linjens $m$-värde är samma som riktningskoefficienten $k$, alltså $$m = 4.$$\n 4. Problem c): Bestäm linjens ekvation. Med riktningskoefficient $m = 4$ och punkt $(-2, -7)$ använder vi punkt-korsprincipen: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ $$y + 7 = 4(x + 2)$$ $$y + 7 = 4x + 8$$ $$y = 4x + 1.$$\n 5. Problem 8a): Linjens ekvation ges av punkten $(2, -1)$ och den ska vara parallell med linjen $2x - 3y = 5$.\n 6. Omformar given linje till lutningsform: $$2x - 3y = 5 \Rightarrow -3y = 5 - 2x \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}.$$ Lutningen är $$m = \frac{2}{3}.$$ En parallell linje har samma lutning $$m = \frac{2}{3}.$$\n 7. Linjens ekvation genom $(2, -1)$ blir:\n$$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 2)$$\n$$y + 1 = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$$\n$$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} - 1 = \frac{2}{3}x - \frac{7}{3}.$$\n 8. Problem 8b): En linje vinkelrät mot linjen med lutning $$m = \frac{2}{3}$$ har lutning $$m_{v} = -\frac{1}{m} = -\frac{3}{2}.$$\n 9. Genom punkt $(2, -1)$ och lutning $m_v$:$$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 2)$$$$y + 1 = -\frac{3}{2}x + 3$$$$y = -\frac{3}{2}x + 3 - 1 = -\frac{3}{2}x + 2.$$\n 10. Problem 9a): Temperaturen $y$ efter $x$ timmar, med starttemperatur $80$ och nedgång $5$ per timme, ges av $$y = 80 - 5x.$$\n 11. Problem 9b): När $$y = 57.5,$$ bestäm $x$:$$57.5 = 80 - 5x \Rightarrow 5x = 80 - 57.5 = 22.5 \Rightarrow x = \frac{22.5}{5} = 4.5.$$\n 12. Problem 10: För linjär funktion $f(x) = mx + c$ gäller $$f(-1) = 3 \Rightarrow -m + c = 3$$ och $$f(3) = -5 \Rightarrow 3m + c = -5.$$\n 13. Lös systemet\nSubtrahera första ekvationen från andra: $$(3m + c) - (-m + c) = -5 - 3 \Rightarrow 3m + c + m - c = -8 \Rightarrow 4m = -8 \Rightarrow m = -2.$$\n 14. Sätt in $m = -2$ i $-m + c = 3$: $$-(-2) + c = 3 \Rightarrow 2 + c = 3 \Rightarrow c = 1.$$\n Funktionen är alltså $$f(x) = -2x + 1.$$\n 15. Problem 11: Lös ekvationssystemet\n$$3x + y = 2$$ $$x - 2y = 3.$$\n 16. Lös den andra ekvationen för $x$: $$x = 3 + 2y.$$\n 17. Ersätt i första ekvationen: $$3(3 + 2y) + y = 2$$ $$9 + 6y + y = 2$$ $$7y = 2 - 9 = -7$$ $$y = -1.$$\n 18. Sätt in $y = -1$ i $x = 3 + 2y$: $$x = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1.$$\n Slutligen, lösningen är $$x = 1, y = -1.$$