1. Das Problem lautet: Finde die kubische Funktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, die durch den Ursprung geht, bei $x=4$ ein Minimum hat mit Funktionswert $-80/3$ und bei $x=-2$ ein Maximum besitzt. 2. Da die Funktion durch den Ursprung geht, gilt $f(0) = d = 0$. Somit ist $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. 3. Für Extremstellen gilt: $f'(x) = 0$. Die Ableitung ist $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. 4. Die Extremstellen sind bei $x=4$ und $x=-2$, also: $$3a(4)^2 + 2b(4) + c = 0$$ $$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$$ Das ergibt: $$48a + 8b + c = 0$$ $$12a - 4b + c = 0$$ 5. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: $$(48a + 8b + c) - (12a - 4b + c) = 0$$ $$36a + 12b = 0$$ $$3a + b = 0 \\ b = -3a$$ 6. Setze $b = -3a$ in die erste Gleichung ein: $$48a + 8(-3a) + c = 0$$ $$48a - 24a + c = 0$$ $$24a + c = 0 \\ c = -24a$$ 7. Die Funktion lautet nun: $$f(x) = a x^3 - 3a x^2 - 24a x$$ 8. Nutze den Punkt $P(4, -80/3)$: $$f(4) = a(64) - 3a(16) - 24a(4) = -\frac{80}{3}$$ $$64a - 48a - 96a = -\frac{80}{3}$$ $$-80a = -\frac{80}{3}$$ 9. Löse nach $a$ auf: $$a = \frac{-\frac{80}{3}}{-80} = \frac{1}{3}$$ 10. Setze $a = \frac{1}{3}$ in $b$ und $c$ ein: $$b = -3 \times \frac{1}{3} = -1$$ $$c = -24 \times \frac{1}{3} = -8$$ 11. Die gesuchte Funktion ist: $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x$$ 12. Zusammenfassung: Die kubische Funktion, die durch den Ursprung geht, bei $x=4$ ein Minimum mit Wert $-80/3$ hat und bei $x=-2$ ein Maximum besitzt, lautet $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x$$.