1. Stoiat zadachata: Da se nameri kakva stoinost treba da ima $k$, za da korenite na uravnenieto $$x^3 - kx^2 - x = 0$$ obrazuvat aritmetichna progresiq. 2. Razglejdame uravnenieto: $$x^3 - kx^2 - x = 0$$ 3. Izvadja se obsht koefitsient $x$: $$x(x^2 - kx - 1) = 0$$ 4. Korinite sa $x_1=0$ i korenite na kvadratnoto uravnenie: $$x^2 - kx - 1 = 0$$ koeto dava korenite $$x_{2,3} = \frac{k \pm \sqrt{k^2 + 4}}{2}$$ 5. Za da obrazuvat korenite aritmetichna progresiq, te tri stoinosti $x_1, x_2, x_3$ trqbva da sa v reda, koiato razlica mejdu sledvashtite chlenove e postoianna. 6. Nameravame, che $x_1=0$ i $x_2, x_3$ ot kvadratnoto. 7. Postavqme $x_1, x_2, x_3$ v vyzmojen red: kakto znaem, aritmetichnata progresiq za tri chleni $a, a+d, a+2d$ ima formata, taka che sredniqt chlen e aritmetichnata sredna mezhdu purviya i tretiya. 8. Zato, sredniqt chlen $x_2$ trqbva da e srednoaritemetichen na $x_1$ i $x_3$, t.e. $$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$$ 9. Zamenqme: $$\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} = \frac{0 + \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}}{2}$$ 10. Opravilvame izchislqvaneto: $$\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} = \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{4}$$ 11. Umnozhavame vsichki s 4 za da se kymche: $$2\left(k - \sqrt{k^2 + 4}\right) = k + \sqrt{k^2 + 4}$$ 12. Razpisvame: $$2k - 2\sqrt{k^2 + 4} = k + \sqrt{k^2 + 4}$$ 13. Premahvame $k$ i prenaqseme korenite na edna strana: $$2k - k = \sqrt{k^2 + 4} + 2\sqrt{k^2 + 4}$$ $$k = 3 \sqrt{k^2 + 4}$$ 14. Kvadrirame i dvetе strani za da izleze od kvadrata: $$k^2 = 9 (k^2 + 4)$$ 15. Razpisvame: $$k^2 = 9k^2 + 36$$ 16. Prenasqme vsichko na edna strana: $$k^2 - 9k^2 = 36$$ $$-8k^2 = 36$$ 17. Delim na -8: $$k^2 = -\frac{36}{8} = -\frac{9}{2}$$ 18. Tova e nevazmozhno, t.k. $k^2$ ne moje da e otricatelno chislo. 19. Sledovatelno tova predstavi nevalidno uslovie. Trqbva da proverim redicata na korenite za drugi varianti: 20. Drug red na aritmetichna progresiq e: $x_3 = \frac{x_1 + x_2}{2}$. Postavqme namesto $x_3$ tazi sredna aritmetichna: $$\frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2} = \frac{0 + \frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2}}{2}$$ 21. Uprostvame: $$\frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2} = \frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{4}$$ 22. Umnozhavame s 4: $$2(k + \sqrt{k^2 + 4}) = k - \sqrt{k^2 + 4}$$ 23. Razpisvame: $$2k + 2\sqrt{k^2 + 4} = k - \sqrt{k^2 + 4}$$ 24. Prenosim $k$ otleva i korenite otdqsno: $$2k - k = - \sqrt{k^2 + 4} - 2 \sqrt{k^2 + 4}$$ $$k = - 3 \sqrt{k^2 + 4}$$ 25. Kvadrirame: $$k^2 = 9(k^2 + 4)$$ 26. Razpisvame: $$k^2 = 9k^2 + 36$$ 27. Preidvame vsichko na edna strana: $$k^2 - 9k^2 = 36$$ $$-8k^2 = 36$$ 28. Pak stava $k^2 = - \frac{9}{2}$ - nevalidno. 29. Kato sledvashto, proverqvame izrecheniето 0 v sredata: Redicata e $x_2 = 0$, tova ne moje da e, t.k. 0 e veche $x_1$. 30. Proverqvame symbolichno dali 0 e sredata: Da znaem dali sredniqt korен e $0$: $$0 = \frac{x_1 + x_3}{2}$$ To e vuzmozhno samo ako $x_1$ i $x_3$ sa protichni po znak i ravni po modulus. 31. Korените sa $0$, $\frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}$, $\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2}$. 32. Zamenqme $x_1=0$, $x_2 = \frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2}$ i $x_3 = \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}$. 33. Da proverim uslovie: $$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$$ $$\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} = \frac{0 + \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}}{2} = \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{4}$$ 34. Vidqhme vyv st. 10 tova e nevazmozhno. 35. Proverqvame za reda, koyto zapochva s $\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2}$, posle $0$, posle $\frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}$: $$0 = \frac{\frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} + \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2}}{2} = \frac{k}{2}$$ 36. Ot tuk tursim edinstvenata stoinost na $k$: $$0 = \frac{k}{2} \Rightarrow k=0$$ 37. Sledovatelno stoinostta na $k$, pri koyato korenite obrazuvat aritmetichna progresiq e $$k=0$$. 38. Proverka: Za $k=0$ uravnenieto e: $$x^3 - 0\cdot x^2 - x = 0 \implies x^3 - x = 0$$ Korenite sa: $$x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x=0, x=1, x=-1$$ Ktото v podredba $-1,0,1$ e aritmetichna progresiq sus step $1$. Finalen otgovor: $$\boxed{k=0}$$