1. Задачата ни е да намерим стойността на $k$, при която корените на уравнението $$3x^2 - kx - x = 0$$ образуват аритметична прогресия. 2. Първо опростяваме уравнението: $$3x^2 - kx - x = 0 \implies 3x^2 - (k+1)x = 0.$$ 3. Извеждаме $x$ като общ множител: $$x(3x - (k+1)) = 0.$$ 4. Корените са: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = \frac{k+1}{3}.$$ 5. Тъй като корените трябва да образуват аритметична прогресия (АП), то средното им аритметично трябва да е равномерно разположено: За два корена, за АП това е $$x_2 - x_1 = d$$ с някаква стъпка $d$ 6. Корените са $$0$$ и $$\frac{k+1}{3}$$. Тогава разликата между тях е $$\frac{k+1}{3} - 0 = \frac{k+1}{3}.$$ 7. При две точки всяка последователност е аритметична с една стъпка, така че няма допълнително условие. 8. Обаче уравнението е квадратно, а корените трябва да са в АП с три члена, което означава, че има трети корен. В условието е възможно да има печатна грешка или липсва част. *** Ако предположим, че уравнението е $$3x^2 - kx - x = 0$$, т.е. $$3x^2 - (k+1)x = 0,$$ то корените са 0 и $$\frac{k+1}{3}$$ - това са 2 корена, а аритметична прогресия изисква поне 3 елемента. *** Ако приемем корените да са вартирани като $$x_1, x_2, x_3$$ от уравнение $$3x^2 - kx - x = 0,$$ то липсва трети корен. Ако условието е корените на линейното уравнение след деление, то: Аритметична прогресия с 2 корена винаги е валидна. Затова за уравнение с 2 корена си приемаме корените $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{k+1}{3}$ и ако търсим $k$ такива, че тези 2 корена са с такова разстояние, няма ограничение. *** Заключение: Липсва част от условието или брой корени. Ако разглеждаме уравнението като $$3x^2 - kx - x = 0$$ корените са $0$ и $$\frac{k+1}{3}$$. "Корените образуват аритметична прогресия" с 2 елемента винаги е вярно. Затова няма допълнителна зависимост, $k$ може да е произволно число. --- Ако условието е да има 3 корена в АП, тогава уравнението трябва да е с 3-ти степен, или корените на квадратно уравнение и нула да са в АП. --- Нека за краткост предположим, че имаме уравнението $$3x^2 - kx - x = 0$$ и искаме корените $x_1$ и $x_2$ да са такива, че с 0 да образуват аритметична прогресия: Тоест: $x_1 = 0$, $x_2$, так че $$x_2 = 2x_1 - x_0$$ или друг начин. Без допълнителна спецификация, $k$ остава неопределено. **Отговор:** Липсва достатъчно условие за определяне на $k$.