1. Pernyataan masalah: Buktikan bahwa untuk setiap $n \geq 1$, berlaku rumus jumlah kuadrat berikut: $$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 2. Rumus ini adalah formula jumlah kuadrat dari bilangan bulat positif hingga $n$. Kita akan membuktikannya menggunakan induksi matematika. 3. Basis induksi: Untuk $n=1$, sisi kiri adalah $1^2 = 1$ dan sisi kanan adalah $\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. Jadi, basis induksi benar. 4. Asumsi induksi: Misalkan rumus benar untuk $n=k$, yaitu $$1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$ 5. Langkah induksi: Buktikan rumus benar untuk $n=k+1$. Tambahkan $(k+1)^2$ ke kedua sisi asumsi induksi: $$1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$$ 6. Faktorkan ruas kanan: $$= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$$ 7. Keluarkan faktor $(k+1)$: $$= \frac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}$$ $$= \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$$ 8. Faktorkan polinomial kuadrat: $$2k^2 + 7k + 6 = (2k+3)(k+2)$$ 9. Jadi, ruas kanan menjadi: $$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$ 10. Ini sama dengan rumus untuk $n = k+1$: $$\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$$ 11. Dengan demikian, rumus jumlah kuadrat terbukti benar untuk $n=k+1$ jika benar untuk $n=k$. 12. Karena basis induksi benar dan langkah induksi juga benar, maka rumus tersebut berlaku untuk semua $n \geq 1$. Jawaban akhir: $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$