1. **المشكلة الأولى:** لدينا التابع $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, f(x) = (x + 3)^2$. المطلوب هو: 1.1 أوجد التابع العكسي $f^{-1}(x)$. **الحل:** 1. نبدأ بالتعريف: إذا كانت $y = (x+3)^2$ مع $x,y >0$، نريد التعبير عن $x$ بدلالة $y$. 2. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$\sqrt{y} = x + 3$$ 3. إذن: $$x = \sqrt{y} - 3$$ 4. يتوجب التأكد من المجال ليناسب $\mathbb{R}^+$؛ وهذا صحيح إذا $y \geq 0$ و$x>0 \Rightarrow \sqrt{y} > 3$ وبالتالي $y \geq 9$. إذن المجال المضبوط للتابع العكسي هو $[9, \infty)$ و$ f^{-1}(y) = \sqrt{y} - 3 $. 1.2 طلب رسم التابع العكسي: يمكن رسمه كسلسلة من نقاط $(y, \sqrt{y} - 3)$ مع $y \geq 9$. 2. **حساب:** - $f^{-1}\{y : 0 \le y < 16\}$ = مجموعة جميع $x$ بحيث $f(x)$ يقع في هذه المجموعة. بما أن $f(x) = (x+3)^2$, فما معنى $0 \le y < 16$؟ نحل $0 \le (x+3)^2 <16$، نأخذ الجذر: $0 \le x+3 <4$. بما أن $x > 0$, فالقيمة الدنيا $x =0$ وقيمة العظمى $x <1$. إذن: \[ f^{-1} \{y :0 \le y < 16\} = \{x : 0 < x < 1\} \] - $f^{-1}(16)$: حل $f(x) =16$, أي $(x+3)^2 =16$, فتكون $x+3 =4 \Rightarrow x=1$ (الإيجابية). - $f(5)$: $f(5) = (5+3)^2 = 8^2 =64$. --- 3. **المشكلة الثانية:** $|x^4-8x^3 + 17x^2 + 2x| = 24$ 3.1 أوجد جميع الحلول. - نحاول حل المعادلة داخل القيمة المطلقة. الحلول تكون حيث $$x^4 -8x^3 + 17x^2 +2x = 24$$ أو $$x^4 -8x^3 + 17x^2 + 2x = -24$$ الحالة الأولى: $$x^4 -8x^3 + 17x^2 + 2x - 24 = 0$$ الحالة الثانية: $$x^4 -8x^3 + 17x^2 + 2x + 24 = 0$$ نبحث عن جذور هذه المعادلات، يمكن التحقق من القيم المحتملة بطريقة تجربة أو التحليل. 3.2 حل المعادلة اللوغاريتمية: $$4 \ln(x) = \ln \left[(x^2 - 4x + 3)(x-5) + x^2\right]^2$$ - باستخدام خاصية اللوغاريتم: $$4 \ln(x) = 2 \ln \left[(x^2 - 4x +3)(x -5) + x^2\right]$$ - نقسم الطرفين على 2: $$2 \ln(x) = \ln \left[(x^2 -4x + 3)(x -5) + x^2\right]$$ - نرفع الأساس $e$ للطرفين: $$x^2 = (x^2 - 4x + 3)(x-5) + x^2$$ - نبسط: $$x^2 = (x^2 -4x + 3)(x -5) + x^2$$ - نطرح $x^2$ من الطرفين: $$0 = (x^2 -4x + 3)(x-5)$$ - نوجد الجذور من العوامل: من $(x^2 -4x + 3)$ نحلل إلى $(x-1)(x-3)$ والعامل الآخر $x-5$. إذن جذور المعادلة هي: $$x=1, x=3, x=5$$ - يجب التأكد أن $x > 0$ (من شرط اللوغاريتم). جميع هذه الجذور صحيحة. --- 4. **المشكلة الثالثة:** حساب النهايات: A = $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^2(5x)}{(x^2 - x)^2}$$ - نستخدم تقريب $\tan(5x) \approx 5x$ عندما $x \to 0$. - إذن: $$\tan^2(5x) \approx (5x)^2 = 25x^2$$ - والمقام: $$(x^2 - x)^2 = (x(x-1))^2 = x^2 (x-1)^2$$ عندما $x \to 0$, $(x-1)^2 \to 1$ - إذن: $$\lim_{x \to 0} \frac{25x^2}{x^2(1)} = \lim_{x \to 0} 25 = 25$$ B = $$\lim_{x \to 0} (1 + x^7)^{\frac{9}{x}}$$ - نعيد كتابة النهاية باستخدام اللوغاريتم: $$\lim_{x \to 0} e^{ \frac{9}{x} \ln(1 + x^7)}$$ - نقرب اللوغاريتم للاقتراب من صفر: $$\ln(1 + x^7) \approx x^7$$ - إذن الأس يصبح: $$\frac{9}{x} \times x^7 = 9 x^6$$ - عندما $x \to 0$, $9x^6 \to 0$ - إذن النهاية: $$e^0 = 1$$ C = $$\lim_{x \to \infty} \frac{-6x^{15} - 3x + 8}{x^{15} - 3x^2 + 8x +1}$$ - نقسم كل حدود البسط والمقام على $x^{15}$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-6 - \frac{3}{x^{14}} + \frac{8}{x^{15}}}{1 - \frac{3}{x^{13}} + \frac{8}{x^{14}} + \frac{1}{x^{15}}}$$ - حد الحدود التي تحتوي على $1/x^n$ عندما $x \to \infty$ هو صفر. - إذن النهاية: $$\frac{-6}{1} = -6$$ **النتائج النهائية:** 1. $f^{-1}(y) = \sqrt{y} - 3$, $f^{-1}\{y : 0 \le y < 16\} = \{x : 0 < x < 1\}, f^{-1}(16) = 1, f(5) = 64$ 2. حلول المعادلة المطلقة من تحليل معادلتين. حل المعادلة اللوغاريتمية $x = 1, 3, 5$ 3. النهايات: A=25, B=1, C=-6