1. مسئله: یافتن مقدار $a - b + c - d$ برای تابع وارون $f^{-1}(x) = ax + b|x + c| + d$ که وارون تابع $f(x) = 3x + |x + 1|$ است. 2. ابتدا تابع $f(x)$ را بررسی می‌کنیم: $$f(x) = 3x + |x + 1|$$ تابع قدر مطلق را به دو حالت تقسیم می‌کنیم: - اگر $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$، آنگاه: $$f(x) = 3x + (x + 1) = 4x + 1$$ - اگر $x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$، آنگاه: $$f(x) = 3x - (x + 1) = 2x - 1$$ 3. حال وارون تابع را برای هر بخش جداگانه پیدا می‌کنیم: - برای $x \geq -1$: $$y = 4x + 1 \Rightarrow x = \frac{y - 1}{4}$$ - برای $x < -1$: $$y = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{y + 1}{2}$$ 4. تابع وارون $f^{-1}(x)$ به صورت تابعی تکه‌ای است: $$f^{-1}(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{4}, & x \geq f(-1) \\ \frac{x + 1}{2}, & x < f(-1) \end{cases}$$ محاسبه $f(-1)$: $$f(-1) = 3(-1) + |(-1) + 1| = -3 + 0 = -3$$ پس: $$f^{-1}(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{4}, & x \geq -3 \\ \frac{x + 1}{2}, & x < -3 \end{cases}$$ 5. حال تابع وارون را به شکل داده شده $f^{-1}(x) = ax + b|x + c| + d$ بازنویسی می‌کنیم. تابع تکه‌ای بالا را می‌توان به صورت: $$f^{-1}(x) = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}|x + 3| - 1$$ چون: - برای $x \geq -3$، $|x + 3| = x + 3$: $$\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}(x + 3) - 1 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} - 1 = x - \frac{1}{4}$$ - برای $x < -3$، $|x + 3| = -(x + 3)$: $$\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}(x + 3) - 1 = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{7}{4}$$ که با تکه‌های تابع وارون مطابقت دارد. 6. بنابراین مقادیر $a, b, c, d$ به ترتیب برابرند با: $$a = \frac{3}{4}, \quad b = \frac{1}{4}, \quad c = 3, \quad d = -1$$ 7. حال مقدار $a - b + c - d$ را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} + 3 - (-1) = \frac{2}{4} + 3 + 1 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} = 4.5$$ اما گزینه‌ها این مقدار را ندارند، پس بررسی می‌کنیم که آیا علامت $c$ درست است یا باید $-3$ باشد. اگر $c = -3$ باشد: $$a - b + c - d = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} - 3 - (-1) = \frac{2}{4} - 3 + 1 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$$ که باز هم در گزینه‌ها نیست. 8. با توجه به گزینه‌ها و محاسبات، نزدیک‌ترین مقدار به گزینه 3 یعنی $\frac{3}{8} = 0.375$ است. اما مقدار دقیق $a - b + c - d$ برابر است با: $$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} + 3 - (-1) = 2 + 3 + 1 = 5$$ که اشتباه است. پس باید دوباره بررسی کنیم. 9. بازنویسی تابع وارون به شکل $ax + b|x + c| + d$: تابع تکه‌ای: $$f^{-1}(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{4}, & x \geq -3 \\ \frac{x + 1}{2}, & x < -3 \end{cases}$$ می‌توان به صورت: $$f^{-1}(x) = m x + n |x + 3| + p$$ برای $x \geq -3$: $$m x + n (x + 3) + p = (m + n) x + 3 n + p = \frac{x - 1}{4}$$ برای $x < -3$: $$m x + n (-(x + 3)) + p = (m - n) x - 3 n + p = \frac{x + 1}{2}$$ با مقایسه ضرایب: $$m + n = \frac{1}{4}$$ $$3 n + p = -\frac{1}{4}$$ $$m - n = \frac{1}{2}$$ $$-3 n + p = \frac{1}{2}$$ از دو معادله اول و دوم: $$3 n + p = -\frac{1}{4}$$ $$-3 n + p = \frac{1}{2}$$ با تفریق: $$6 n = -\frac{3}{4} \Rightarrow n = -\frac{1}{8}$$ جایگذاری در معادله اول: $$3 \times -\frac{1}{8} + p = -\frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{3}{8} + p = -\frac{1}{4} \Rightarrow p = -\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$$ از معادلات مربوط به $m$: $$m + n = \frac{1}{4} \Rightarrow m = \frac{1}{4} - n = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$ و $$m - n = \frac{1}{2}$$ که با مقدار $m$ و $n$ بدست آمده سازگار است. 10. پس مقادیر نهایی: $$a = m = \frac{3}{8}, \quad b = n = -\frac{1}{8}, \quad c = 3, \quad d = p = \frac{1}{8}$$ 11. مقدار $a - b + c - d$: $$\frac{3}{8} - \left(-\frac{1}{8}\right) + 3 - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} + 3 - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 3 = \frac{3}{8} + 3 = \frac{3}{8} + \frac{24}{8} = \frac{27}{8}$$ 12. پاسخ نهایی: گزینه 2) 27/8