1. Problema 4: Encontrar la función inversa de $p(x) = 3(2x - 1)^2 + 3$. 2. Para hallar la inversa, empezamos intercambiando $p(x)$ por $y$: $$y = 3(2x - 1)^2 + 3$$ 3. Cambiamos $x$ y $y$ y despejamos $y$: $$x = 3(2y - 1)^2 + 3$$ 4. Restamos 3 en ambos lados: $$x - 3 = 3(2y - 1)^2$$ 5. Dividimos entre 3: $$\frac{x - 3}{3} = (2y - 1)^2$$ 6. Aplicamos raíz cuadrada (considerando $\pm$): $$\pm \sqrt{\frac{x - 3}{3}} = 2y - 1$$ 7. Sumamos 1 a ambos lados y dividimos entre 2: $$y = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{x - 3}{3}}}{2}$$ 8. Por el rango y dominio, elegimos la rama positiva o negativa según corresponda. Respuesta: $$p^{-1}(x) = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{x - 3}{3}}}{2}$$ --- 9. Problema 5: Dados $$f(x) = \sqrt{x + 5}, \quad g(x) = \frac{x - 10}{3}, \quad h(x) = (x - 2)^2,$$ calcular $(f/g)(4)$ y restricciones de dominio. 10. Primero calculamos $f(4)$: $$f(4) = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$$ 11. Luego calculamos $g(4)$: $$g(4) = \frac{4 - 10}{3} = \frac{-6}{3} = -2$$ 12. Entonces: $$(f/g)(4) = \frac{f(4)}{g(4)} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$$ 13. Restricciones: - Para $f(x)$, el radicando $x+5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$. - Para $g(x)$, el denominador no puede ser 0, aquí $g(x)$ no es el denominador si no una función en el denominador de la división $f/g$; solo evitar $g(x) = 0$: $$\frac{x - 10}{3} = 0 \Rightarrow x = 10$$ 14. Entonces dominio de $\frac{f}{g}$ es $x \geq -5$ y $x \neq 10$. --- 15. Problema 6: La transformación es $$3f(2 - x) + 5$$ 16. El punto original es $(-4, -2)$, es decir: $f(-4) = -2$. 17. Buscamos $x$ tal que $2 - x = -4$: $$2 - x = -4 \Rightarrow x = 6$$ 18. Calculamos $3f(2 - 6) + 5 = 3f(-4) + 5 = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1$. 19. El punto transformado es $(6, -1)$. --- 20. Problema 7: La función: $$f(x) = \frac{1}{3} \sqrt{2(x + 3)} + 1$$ 21. Para la inversa, intercambiamos $x$ y $y$: $$x = \frac{1}{3} \sqrt{2(y + 3)} + 1$$ 22. Restamos 1: $$x - 1 = \frac{1}{3} \sqrt{2(y + 3)}$$ 23. Multiplicamos por 3: $$3(x - 1) = \sqrt{2(y + 3)}$$ 24. Elevamos al cuadrado: $$[3(x - 1)]^2 = 2(y + 3)$$ 25. Dividimos entre 2: $$\frac{9(x - 1)^2}{2} = y + 3$$ 26. Restamos 3: $$y = \frac{9}{2} (x - 1)^2 - 3$$ 27. Por lo tanto, $$f^{-1}(x) = \frac{9}{2} (x - 1)^2 - 3$$ 28. El gráfico debe mostrar $f(x)$ y $f^{-1}(x)$ juntos, reflejados respecto a la línea $y = x$.