1. Diketahui fungsi $f(x) = x + 3$ dan $g(x) = 3x - 5$. Tentukan: 1.a. Cari invers fungsi $f^{-1}(x)$ dan $g^{-1}(x)$. - Untuk $f(x) = x + 3$, gantikan $f(x)$ dengan $y$: $$y = x + 3.$$ Tukar $x$ dan $y$: $$x = y + 3.$$ Selesaikan untuk $y$: $$y = x - 3.$$ Jadi, $$f^{-1}(x) = x - 3.$$ - Untuk $g(x) = 3x - 5$, gantikan $g(x)$ dengan $y$: $$y = 3x - 5.$$ Tukar $x$ dan $y$: $$x = 3y - 5.$$ Selesaikan untuk $y$: $$3y = x + 5 \ y = \frac{x + 5}{3}.$$ Jadi, $$g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}.$$ 1.b. Tentukan komposisi $g^{-1} \circ f^{-1}(x)$. $$g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(x - 3) = \frac{(x - 3) + 5}{3} = \frac{x + 2}{3}.$$ 1.c. Tentukan komposisi $f^{-1} \circ g^{-1}(x)$. $$f^{-1}(g^{-1}(x)) = f^{-1}\left(\frac{x + 5}{3}\right) = \frac{x + 5}{3} - 3 = \frac{x + 5 - 9}{3} = \frac{x - 4}{3}.$$ 2. Fungsi $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$ dan $g(x) = \frac{1}{5}x - 2$. 2.a. Tentukan invers dari $(f \circ g)(x)$. - Hitung dahulu $f(g(x))$: $$f(g(x)) = f\left(\frac{1}{5}x - 2\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}x - 2\right) + 3 = \frac{1}{10}x - 1 + 3 = \frac{1}{10}x + 2.$$ - Jadi, $(f \circ g)(x) = \frac{1}{10}x + 2$. - Dalam bentuk $y = \frac{1}{10}x + 2$, cari inversnya: $$y = \frac{1}{10}x + 2 \Rightarrow x = \frac{1}{10}y + 2 \Rightarrow \frac{1}{10}y = x - 2 \Rightarrow y = 10(x - 2) = 10x - 20.$$ Jadi $$ (f \circ g)^{-1}(x) = 10x - 20.$$ 2.b. Tentukan invers dari $(g \circ f)(x)$. - Hitung $g(f(x))$: $$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{2}x + 3\right) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}x + 3\right) - 2 = \frac{1}{10}x + \frac{3}{5} - 2 = \frac{1}{10}x - \frac{7}{5}.$$ - Jadi, $y = \frac{1}{10}x - \frac{7}{5}$. - Cari invers: $$y = \frac{1}{10}x - \frac{7}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{10}y - \frac{7}{5} \Rightarrow \frac{1}{10}y = x + \frac{7}{5} \Rightarrow y = 10\left(x + \frac{7}{5}\right) = 10x + 14.$$ Jadi $$(g \circ f)^{-1}(x) = 10x + 14.$$ 3. Fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x - 2$ dan $g(x) = x + 7$. 3.a. Hitung $f^{-1}(-4)$: - Cari $f^{-1}(x)$. $$y = \frac{1}{3}x - 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}y - 2 \Rightarrow \frac{1}{3}y = x + 2 \Rightarrow y = 3(x + 2) = 3x + 6.$$ Jadi $$f^{-1}(x) = 3x + 6.$$ - Evaluasi pada $x = -4$: $$f^{-1}(-4) = 3(-4) + 6 = -12 + 6 = -6.$$ 3.b. Hitung $g^{-1}(-3)$: - Invers $g^{-1}(x)$: $$y = x + 7 \Rightarrow x = y + 7 \Rightarrow y = x - 7.$$ Jadi $$g^{-1}(x) = x - 7.$$ - Evaluasi pada $x = -3$: $$g^{-1}(-3) = -3 - 7 = -10.$$ 3.c. Hitung $(f \circ g)^{-1}(-4)$: - Tentukan $f \circ g$: $$f(g(x)) = f(x + 7) = \frac{1}{3}(x + 7) - 2 = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}.$$ - Jadi $(f \circ g)(x) = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. - Cari invers: $$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3}y + \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}y = x - \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3\left(x - \frac{1}{3}\right) = 3x - 1.$$ Jadi $$(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1.$$ - Evaluasi pada $x = -4$: $$3(-4) - 1 = -12 -1 = -13.$$ 3.d. Hitung $(g \circ f)^{-1}(-3)$: - Tentukan $g \circ f$: $$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{3}x - 2\right) = \left(\frac{1}{3}x - 2\right) + 7 = \frac{1}{3}x + 5.$$ - Cari inversnya: $$y = \frac{1}{3}x + 5 \Rightarrow x = \frac{1}{3}y + 5 \Rightarrow \frac{1}{3}y = x - 5 \Rightarrow y = 3(x - 5) = 3x - 15.$$ Jadi $$(g \circ f)^{-1}(x) = 3x - 15.$$ - Evaluasi pada $x = -3$: $$3(-3) - 15 = -9 - 15 = -24.$$ 4. Diketahui $f(x) = x^{2} - 2x - 5$ dan $g(x) = x + 2$. 4.a. Cari fungsi komposisi $h = f \circ g$: - Hitung $h(x) = f(g(x)) = f(x+2)$: $$f(x+2) = (x+2)^2 - 2(x+2) -5 = (x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 - 5 = x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 - 5 = x^2 + 2x - 5.$$ - Jadi $$h(x) = x^2 + 2x - 5.$$ 4.b. Cari invers fungsi $h$. - Misalkan $y = x^2 + 2x - 5$. Untuk mencari invers, selesaikan $x$ dalam fungsi $y$: $$y = x^2 + 2x - 5 \Rightarrow x^2 + 2x - (y + 5) = 0.$$ - Ini persamaan kuadrat dalam $x$ dengan koefisien $a=1$, $b=2$, dan $c=-(y+5)$. - Rumus kuadrat: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(y + 5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4y + 24}}{2} = -1 \pm \sqrt{y + 6}.$$ - Jadi invers fungsi $h$ tidak unik kecuali dibatasi domain. - Jadi $$h^{-1}(y) = -1 \pm \sqrt{y + 6}.$$ 5. Diketahui $f(x) = x - 12$ dan $g(x) = x^2 + 5$. 5.a. Hitung $f^{-1}(9)$: - Cari invers $f^{-1}(x)$: $$y = x - 12 \Rightarrow x = y - 12 \Rightarrow y = x + 12.$$ Jadi $$f^{-1}(x) = x + 12.$$ - Evaluasi pada $x=9$: $$f^{-1}(9) = 9 + 12 = 21.$$ 5.b. Hitung $g^{-1}(9)$: - $g(x) = x^2 + 5$, maka: $$y = x^2 + 5 \Rightarrow x^2 = y - 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{y - 5}.$$ - Evaluasi pada $y = 9$: $$x = \pm \sqrt{9 - 5} = \pm \sqrt{4} = \pm 2.$$ Jadi ada dua nilai invers, yaitu $x=2$ dan $x=-2$. 5.c. Hitung $(f \circ g)^{-1}(9)$: - Hitung dulu $f \circ g(x)$: $$f(g(x)) = f(x^2 + 5) = (x^2 + 5) - 12 = x^2 - 7.$$ - Jadi $(f \circ g)(x) = x^2 - 7$. - Cari inversnya: $$y = x^2 - 7 \Rightarrow x^2 = y + 7 \Rightarrow x = \pm \sqrt{y + 7}.$$ - Evaluasi pada $y = 9$: $$x = \pm \sqrt{9 + 7} = \pm \sqrt{16} = \pm 4.$$ 5.d. Hitung $(g \circ f)^{-1}(9)$: - Hitung $g \circ f(x)$: $$g(f(x)) = g(x - 12) = (x - 12)^2 + 5 = x^2 - 24x + 144 + 5 = x^2 - 24x + 149.$$ - Jadi $y = x^2 - 24x + 149$. - Cari inversnya: $$x^2 - 24x + 149 = y \Rightarrow x^2 - 24x + (149 - y) = 0.$$ - Gunakan rumus kuadrat untuk $x$: $$x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (149 - y)}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4(149 - y)}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 596 + 4y}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{4y - 20}}{2} = 12 \pm \sqrt{y - 5}.$$ - Evaluasi pada $y = 9$: $$x = 12 \pm \sqrt{9 - 5} = 12 \pm 2,$$ yaitu $x = 14$ atau $x = 10.$