1. Το πρόβλημα ζητά να βρούμε το παρεμβολικό πολυώνυμο $p(x)$ βαθμού το πολύ 4 που περνά από τα σημεία $(-2,-3)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,3)$. 2. Το γενικό πολυώνυμο βαθμού 4 είναι: $$p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + p_3 x^3 + p_4 x^4$$ 3. Για κάθε σημείο $(x_i, y_i)$, ισχύει: $$p(x_i) = y_i$$ Άρα έχουμε το σύστημα: $$\begin{cases} p_0 + p_1(-2) + p_2(-2)^2 + p_3(-2)^3 + p_4(-2)^4 = -3 \\ p_0 + p_1(-1) + p_2(-1)^2 + p_3(-1)^3 + p_4(-1)^4 = 1 \\ p_0 + p_1(0) + p_2(0)^2 + p_3(0)^3 + p_4(0)^4 = 0 \\ p_0 + p_1(1) + p_2(1)^2 + p_3(1)^3 + p_4(1)^4 = 1 \\ p_0 + p_1(2) + p_2(2)^2 + p_3(2)^3 + p_4(2)^4 = 3 \end{cases}$$ 4. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις: $$\begin{cases} p_0 - 2p_1 + 4p_2 - 8p_3 + 16p_4 = -3 \\ p_0 - p_1 + p_2 - p_3 + p_4 = 1 \\ p_0 = 0 \\ p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 \\ p_0 + 2p_1 + 4p_2 + 8p_3 + 16p_4 = 3 \end{cases}$$ 5. Από την τρίτη εξίσωση έχουμε $p_0 = 0$. 6. Αντικαθιστούμε $p_0=0$ στις υπόλοιπες: $$\begin{cases} -2p_1 + 4p_2 - 8p_3 + 16p_4 = -3 \\ -p_1 + p_2 - p_3 + p_4 = 1 \\ p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 \\ 2p_1 + 4p_2 + 8p_3 + 16p_4 = 3 \end{cases}$$ 7. Λύνουμε το σύστημα: Προσθέτουμε τη δεύτερη και τρίτη: $$(-p_1 + p_2 - p_3 + p_4) + (p_1 + p_2 + p_3 + p_4) = 1 + 1 \Rightarrow 2p_2 + 2p_4 = 2 \Rightarrow p_2 + p_4 = 1$$ 8. Από την πρώτη και τέταρτη: Προσθέτουμε: $$(-2p_1 + 4p_2 - 8p_3 + 16p_4) + (2p_1 + 4p_2 + 8p_3 + 16p_4) = -3 + 3 \Rightarrow 8p_2 + 32p_4 = 0 \Rightarrow p_2 + 4p_4 = 0$$ 9. Λύνουμε το σύστημα: $$\begin{cases} p_2 + p_4 = 1 \\ p_2 + 4p_4 = 0 \end{cases}$$ Αφαιρούμε: $$(p_2 + p_4) - (p_2 + 4p_4) = 1 - 0 \Rightarrow -3p_4 = 1 \Rightarrow p_4 = -\frac{1}{3}$$ 10. Βρίσκουμε $p_2$: $$p_2 = 1 - p_4 = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$$ 11. Χρησιμοποιούμε τη δεύτερη εξίσωση για $p_1$ και $p_3$: $$-p_1 + p_2 - p_3 + p_4 = 1 \Rightarrow -p_1 - p_3 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow -p_1 - p_3 + 1 = 1 \Rightarrow -p_1 - p_3 = 0 \Rightarrow p_1 = -p_3$$ 12. Χρησιμοποιούμε την τέταρτη εξίσωση: $$2p_1 + 4p_2 + 8p_3 + 16p_4 = 3$$ Αντικαθιστούμε $p_2$ και $p_4$: $$2p_1 + 4 \cdot \frac{4}{3} + 8p_3 + 16 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 3$$ $$2p_1 + \frac{16}{3} + 8p_3 - \frac{16}{3} = 3 \Rightarrow 2p_1 + 8p_3 = 3$$ 13. Αντικαθιστούμε $p_1 = -p_3$: $$2(-p_3) + 8p_3 = 3 \Rightarrow -2p_3 + 8p_3 = 3 \Rightarrow 6p_3 = 3 \Rightarrow p_3 = \frac{1}{2}$$ 14. Βρίσκουμε $p_1$: $$p_1 = -p_3 = -\frac{1}{2}$$ 15. Το πολυώνυμο είναι: $$p(x) = 0 - \frac{1}{2}x + \frac{4}{3}x^2 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}x^4$$ 16. Υπολογίζουμε την τιμή $p(2)$: $$p(2) = -\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{4}{3} \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 2^3 - \frac{1}{3} \cdot 2^4$$ $$= -1 + \frac{4}{3} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 16$$ $$= -1 + \frac{16}{3} + 4 - \frac{16}{3} = -1 + 4 = 3$$ Τελικό αποτέλεσμα: $$p(2) = 3$$