1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $f$ définie sur $]-\infty, -2[$ par $$f(x) = \frac{x^2}{1+x}$$ est injective. 2. **Formule et rappel :** Une fonction est injective si pour tout $x_1, x_2$ dans le domaine, $f(x_1) = f(x_2)$ implique $x_1 = x_2$. 3. **Étape 1 : Posons $f(x_1) = f(x_2)$** $$\frac{x_1^2}{1+x_1} = \frac{x_2^2}{1+x_2}$$ 4. **Étape 2 : Égaliser les deux expressions** $$x_1^2 (1 + x_2) = x_2^2 (1 + x_1)$$ 5. **Étape 3 : Développer** $$x_1^2 + x_1^2 x_2 = x_2^2 + x_1 x_2^2$$ 6. **Étape 4 : Regrouper tous les termes d'un côté** $$x_1^2 - x_2^2 + x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 = 0$$ 7. **Étape 5 : Factoriser** $$ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + x_1 x_2 (x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + x_1 x_2) = 0$$ 8. **Étape 6 : Étudier les cas** - Soit $x_1 - x_2 = 0$ donc $x_1 = x_2$ (injectivité vérifiée) - Soit $x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 0$ 9. **Étape 7 : Montrer que $x_1 + x_2 + x_1 x_2 \neq 0$ pour $x_1, x_2 \in ]-\infty, -2[$** 10. **Remarque :** Pour $x < -2$, $1 + x < -1 < 0$ donc le dénominateur est négatif. 11. **Tester $x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 0$** $$x_1 + x_2 + x_1 x_2 = (x_1 + 1)(x_2 + 1) - 1$$ 12. **Puisque $x_1, x_2 < -2$, alors $x_1 + 1 < -1$ et $x_2 + 1 < -1$, donc** $$(x_1 + 1)(x_2 + 1) > 1$$ 13. **Donc** $$(x_1 + 1)(x_2 + 1) - 1 > 0$$ 14. **Conclusion :** $x_1 + x_2 + x_1 x_2 \neq 0$ pour $x_1, x_2 \in ]-\infty, -2[$. 15. **Donc la seule possibilité est $x_1 = x_2$, ce qui prouve que $f$ est injective sur $]-\infty, -2[$.** **Réponse finale :** La fonction $f$ est injective sur $]-\infty, -2[$.