1. **بيان المشكلة:** نريد تحديد أي من الاقترانات المعطاة هي دوال شاملة (onto) وأيها دوال واحد لواحد (one-to-one). 2. **تعريفات مهمة:** - دالة واحد لواحد (injective): إذا كانت لكل قيمتين مختلفتين في المجال صورة مختلفة في المجال المقابل. - دالة شاملة (surjective): إذا كانت كل قيمة في المجال المقابل لها قيمة في المجال الأصلي تُعطيها. 3. **تحليل كل دالة:** **الدالة 1: $f(x)=x$, $x \in \mathbb{R}$** - هذه دالة خطية وهوية. - هي واحد لواحد لأن $f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$. - هي شاملة لأن كل $y \in \mathbb{R}$ يوجد $x=y$ بحيث $f(x)=y$. **الدالة 2: $f(x)=x^4+x^2$, $x \in \mathbb{R}$** - الدالة موجبة أو صفرية دائماً. - ليست واحد لواحد لأن مثلاً $f(1)=f(-1)$. - ليست شاملة على $\mathbb{R}$ لأن القيم سالبة غير موجودة في المدى. **الدالة 3: $f(x)=\sqrt{x+1}$, $x \geq -1$** - المجال $x \geq -1$. - الدالة تزداد باستمرار، إذن هي واحد لواحد. - المدى هو $[0, \infty)$، ليست شاملة على $\mathbb{R}$. **الدالة 4: $f(x)=\sin x$, $x \in [0, 2\pi]$** - ليست واحد لواحد لأن $\sin 0 = \sin \pi = 0$. - المدى هو $[-1,1]$، هي شاملة على هذا المدى. **الدالة 5: $f(x)=\sqrt{x^2+2}$, $x \in \mathbb{R}$** - الدالة موجبة دائماً وأصغر قيمة لها هي $\sqrt{2}$. - ليست واحد لواحد لأن $f(a)=f(-a)$. - ليست شاملة على $\mathbb{R}$ لأن القيم أقل من $\sqrt{2}$ غير موجودة. **النتيجة:** - دوال واحد لواحد: 1، 3 - دوال شاملة: 1، 4