1. Énoncé du problème : Résoudre les inéquations suivantes : a) $$(\ln(x))^2 + \ln(x) > 0$$ b) $$(I) : 2(\ln(x))^2 - 5\ln(x) - 3 > 0$$ 2. Pour résoudre ces inéquations, posons $X = \ln(x)$, ce qui transforme les inéquations en inéquations quadratiques en $X$. --- ### a) Résolution de $$(\ln(x))^2 + \ln(x) > 0$$ 3. En posant $X = \ln(x)$, l'inéquation devient : $$X^2 + X > 0$$ 4. Factorisons : $$X(X + 1) > 0$$ 5. Cette inéquation produit un produit strictement positif. Le produit de deux facteurs est positif si : - Les deux facteurs sont positifs simultanément, ou - Les deux facteurs sont négatifs simultanément. 6. Étudions les signes : - $X > 0$ et $X + 1 > 0 \Rightarrow X > 0$ - $X < 0$ et $X + 1 < 0 \Rightarrow X < -1$ 7. Donc la solution en $X$ est : $$X < -1 \quad \text{ou} \quad X > 0$$ 8. En revenant à $x$, on utilise la fonction exponentielle (croissante) : $$\ln(x) < -1 \Rightarrow x < e^{-1}$$ $$\ln(x) > 0 \Rightarrow x > 1$$ 9. Comme $\ln(x)$ est défini pour $x > 0$, la solution finale est : $$0 < x < e^{-1} \quad \text{ou} \quad x > 1$$ --- ### b) Résolution de $$(I) : 2(\ln(x))^2 - 5\ln(x) - 3 > 0$$ 10. Posons $X = \ln(x)$, l'inéquation devient : $$2X^2 - 5X - 3 > 0$$ 11. Résolvons l'équation associée : $$2X^2 - 5X - 3 = 0$$ 12. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$$ 13. Racines : $$X_1 = \frac{5 - 7}{2 \times 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$X_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ 14. Comme le coefficient de $X^2$ est positif ($2 > 0$), la parabole est tournée vers le haut. L'inéquation $2X^2 - 5X - 3 > 0$ est satisfaite pour : $$X < -\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad X > 3$$ 15. En revenant à $x$ : $$\ln(x) < -\frac{1}{2} \Rightarrow x < e^{-\frac{1}{2}}$$ $$\ln(x) > 3 \Rightarrow x > e^{3}$$ 16. Domaine de définition : $x > 0$, donc la solution finale est : $$0 < x < e^{-\frac{1}{2}} \quad \text{ou} \quad x > e^{3}$$