1. Énonçons le problème : Soient $x$ et $y$ deux réels. Nous avons deux conditions : $m.q\ |x+2y|>2\sqrt{3}$ ou $|x|>2$. On souhaite montrer que cela implique \( x^2 + xy + y^2 > 3 \). 2. Analysons d'abord l'inégalité $|x+2y| > 2\sqrt{3}$. Cela signifie que $(x+2y)^2 > (2\sqrt{3})^2 = 12$. Développons : $$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 > 12.$$ 3. Considérons maintenant le deuxième cas $|x| > 2$, ce qui implique $x^2 > 4$. 4. L'objectif est de montrer que dans ces deux cas, on a toujours $$x^2 + xy + y^2 > 3.$$ 5. Pour le cas $|x| > 2$, puisque $x^2 > 4$, et sachant que $xy + y^2$ est réel, la somme $x^2 + xy + y^2$ est naturellement plus grande que 3 car $4 > 3$ et $xy + y^2$ peut être au minimum négatif mais cela ne suffira pas à rendre la somme inférieure ou égale à 3 si $x^2$ est déjà strictement supérieure à 4. 6. Pour le cas $(x+2y)^2 > 12$, analysons l'expression $$x^2 + xy + y^2.$$ Remarquons que cette forme quadratique est équivalente à $$x^2 + xy + y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ La matrice est définie positive, donc cette forme est toujours positive sauf pour $(0,0)$. 7. Puisque $(x+2y)^2 > 12$, on peut exprimer $x^2 + 4xy +4y^2 > 12$. On veut se rapprocher de $x^2 + xy + y^2$. 8. Par des manipulations algébriques ou en utilisant des inégalités (comme la Cauchy-Schwarz), on peut montrer que $$x^2 + xy + y^2 \\geq \frac{(x + 2y)^2}{4} > \frac{12}{4} = 3.$$ 9. En effet, on a $$x^2 + xy + y^2 = x^2 + xy + y^2 \geq \frac{(x+2y)^2}{4},$$ car $$4(x^2 + xy + y^2) - (x + 2y)^2 = 4x^2 + 4xy + 4y^2 - (x^2 + 4xy +4y^2) = 3x^2 > 0.$$ Cette inégalité montre que $$x^2 + xy + y^2 > 3$$ quand $(x + 2y)^2 > 12$. 10. Conclusion : Si $|x + 2y| > 2\sqrt{3}$ ou si $|x| > 2$, alors $$x^2 + xy + y^2 > 3.$$