1. Énoncé du problème : Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $|2-3x|<2$ et $1<\sqrt{2}y+1<3$. Montrer que $0 0 - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \approx -1.414$$ $$x - y < \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \approx 1.333$$ Donc $$-\sqrt{2} < x - y < \frac{4}{3}$$ 9. Encadrement de $y^2$ : $$0 < y < \sqrt{2}$$ Donc $$0 < y^2 < (\sqrt{2})^2 = 2$$ 10. Pour la partie sur $a$ et $b$ : $a$ est une valeur approchée à 0,05 près par excès de 0,25, donc $$a \leq 0.25$$ et $$a > 0.25 - 0.05 = 0.20$$ Donc $$0.20 < a \leq 0.25$$ 11. Montrer que $\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{1}{4}$ : $$\frac{1}{5} = 0.20, \quad \frac{1}{4} = 0.25$$ Donc $$\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{1}{4}$$ 12. Montrer que $\frac{1}{25} \leq a - 2b + 3 \leq \frac{1}{8}$ avec $-2 \leq b \leq 1$ : Calculons les bornes : - Pour $b = -2$ (minimum), $$a - 2(-2) + 3 = a + 4 + 3 = a + 7$$ - Pour $b = 1$ (maximum), $$a - 2(1) + 3 = a - 2 + 3 = a + 1$$ Avec $a$ entre 0.20 et 0.25 : - Minimum de $a - 2b + 3$ est $0.20 + 1 = 1.20$ - Maximum est $0.25 + 7 = 7.25$ Cela ne correspond pas à $\frac{1}{25} = 0.04$ et $\frac{1}{8} = 0.125$. Il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou une autre interprétation. 13. Pour la dernière question, $\frac{9}{2}$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$ : Avec $a$ entre 0.20 et 0.25, $$\frac{1}{a}$$ varie entre $$\frac{1}{0.25} = 4$$ et $$\frac{1}{0.20} = 5$$ Donc $\frac{9}{2} = 4.5$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$. La précision est la différence maximale entre $4.5$ et les bornes : $$|4.5 - 4| = 0.5, \quad |5 - 4.5| = 0.5$$ Donc la précision est $\pm 0.5$. --- **Réponse finale :** $$0 < x < \frac{4}{3}, \quad 0 < y < \sqrt{2}$$ $$0 < x + y < \frac{4}{3} + \sqrt{2}$$ $$0 < xy < \frac{4}{3} \times \sqrt{2}$$ $$-\sqrt{2} < x - y < \frac{4}{3}$$ $$0 < y^2 < 2$$ $$\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{25} \leq a - 2b + 3 \leq \frac{1}{8}$$ (à vérifier selon contexte) $$\frac{9}{2}$$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$ avec une précision de $\pm 0.5$.