1. Énoncé du problème : Montrer que $$\frac{1 + 2x}{1 + 3x} - (1 - x) = \frac{3x^2}{1 + 3x}$$ pour $$x \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]$$. 2. Utilisons la formule de la soustraction de fractions et simplifions : $$\frac{1 + 2x}{1 + 3x} - (1 - x) = \frac{1 + 2x}{1 + 3x} - \frac{(1 - x)(1 + 3x)}{1 + 3x}$$ 3. Développons le numérateur de la deuxième fraction : $$(1 - x)(1 + 3x) = 1 + 3x - x - 3x^2 = 1 + 2x - 3x^2$$ 4. Soustrayons les numérateurs : $$ (1 + 2x) - (1 + 2x - 3x^2) = 1 + 2x - 1 - 2x + 3x^2 = 3x^2$$ 5. Donc : $$\frac{1 + 2x}{1 + 3x} - (1 - x) = \frac{3x^2}{1 + 3x}$$ 6. Pour la deuxième question, montrer que $$\frac{3}{1 + 3x} \leq 12$$. 7. Comme $$x \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]$$, le dénominateur $$1 + 3x$$ varie entre $$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ et $$1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$. 8. Le minimum de $$1 + 3x$$ est donc $$\frac{1}{4}$$, donc le maximum de $$\frac{3}{1 + 3x}$$ est $$\frac{3}{\frac{1}{4}} = 12$$. 9. Ainsi, $$\frac{3}{1 + 3x} \leq 12$$. 10. En combinant les résultats, on a : $$\left|\frac{1 + 2x}{1 + 3x} - (1 - x)\right| = \left|\frac{3x^2}{1 + 3x}\right| = \frac{3}{1 + 3x} x^2 \leq 12 x^2$$ 11. Enfin, pour la dernière question, on veut montrer que 0,9 est une valeur approchée de $$\frac{12}{13}$$ à $$12 \times 10^{-1}$$ près. 12. Calculons la différence : $$\left|0.9 - \frac{12}{13}\right| = \left|0.9 - 0.9230769...\right| = 0.0230769...$$ 13. Or $$12 \times 10^{-1} = 1.2$$, donc $$0.0230769... \leq 1.2$$ 14. Donc 0,9 est bien une valeur approchée de $$\frac{12}{13}$$ à $$12 \times 10^{-1}$$ près. Réponse complète pour la première question montrée, les autres questions sont liées et démontrées dans les étapes.