1. **Énoncé du problème :** Montrer plusieurs propriétés sur les sous-groupes $H$, $K$ de $G$ avec $H$ normal dans $G$. 2. **Définition et rappel :** $HK = \{hk \mid h \in H, k \in K\}$. 3. **i. Montrer que $HK$ est un sous-groupe de $G$ contenant $H$ et $K$ :** - $H$ et $K$ sont inclus dans $HK$ car pour $h \in H$, $h = h e \in HK$ et pour $k \in K$, $k = e k \in HK$. - Pour $x = h_1 k_1$ et $y = h_2 k_2$ dans $HK$, leur produit est $xy = h_1 k_1 h_2 k_2$. - Comme $H$ est normal, $k_1 h_2 k_1^{-1} \in H$, donc $k_1 h_2 = h_3 k_1$ avec $h_3 \in H$. - Donc $xy = h_1 h_3 k_1 k_2$ avec $h_1 h_3 \in H$ et $k_1 k_2 \in K$, donc $xy \in HK$. - L'inverse de $x = h k$ est $x^{-1} = k^{-1} h^{-1}$. - Comme $H$ est normal, $k^{-1} h^{-1} k \in H$, donc $x^{-1} = (k^{-1} h^{-1} k) k^{-1} \in HK$. - Ainsi, $HK$ est un sous-groupe de $G$. 4. **ii. Montrer que $H \cap K$ est un sous-groupe normal de $K$ :** - $H \cap K$ est intersection de deux sous-groupes, donc sous-groupe. - Pour $k \in K$ et $x \in H \cap K$, $k x k^{-1} \in K$ car $K$ est un groupe. - Comme $H$ est normal dans $G$, $k x k^{-1} \in H$. - Donc $k x k^{-1} \in H \cap K$, ce qui montre la normalité dans $K$. 5. **iii. Montrer que $\varphi : k \in K \mapsto kH \in HK/H$ est un homomorphisme surjectif :** - $\varphi(k_1 k_2) = k_1 k_2 H = k_1 H k_2 H = \varphi(k_1) \varphi(k_2)$ car $H$ est normal. - L'application est bien un homomorphisme. - Pour tout $xH \in HK/H$, $x = h k$ avec $h \in H$, $k \in K$, donc $xH = kH = \varphi(k)$. - Donc $\varphi$ est surjective. 6. **iv. Montrer que $\ker \varphi = H \cap K$ et énoncer le premier théorème d'isomorphisme :** - $\ker \varphi = \{k \in K \mid kH = H\} = \{k \in K \mid k \in H\} = H \cap K$. - Par le premier théorème d'isomorphisme, $K / \ker \varphi \cong \mathrm{Im}(\varphi) = HK / H$. - Donc $K / (H \cap K) \cong HK / H$. 7. **v. En déduire que $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}$ :** - Par le théorème d'isomorphisme, $|K / (H \cap K)| = |HK / H|$. - Donc $\frac{|K|}{|H \cap K|} = \frac{|HK|}{|H|}$. - En multipliant par $|H|$, on obtient $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}$. **Réponse finale :** $$ |HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|} $$