1. **Énoncé du problème :** Soit un groupe $G$ avec la loi multiplicative, tel que pour tout $g \in G$, $g^2 = e$ où $e$ est l'élément neutre. Montrer que $G$ est abélien. De plus, soit $H$ un sous-groupe propre de $G$, et $a \in G \setminus H$. Montrer que $H \cap aH = \emptyset$ et que $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$. 2. **Montrer que $G$ est abélien :** Pour $g, h \in G$, considérons le produit $gh$. On a : $$ (gh)^2 = e $$ Développons : $$ (gh)(gh) = g h g h = e $$ Multipliant à gauche par $g$ et à droite par $h$, on obtient : $$ g (h g h) h = g e h \Rightarrow g h g h = g h $$ Mais ceci est la même expression, donc analysons autrement. Notons que $$ (gh)^2 = e \Rightarrow (gh)(gh) = e \Rightarrow ghgh = e $$ Multiplions à gauche par $h$: $$ h ghgh = he \Rightarrow (h g) (h g) h = h $$ Cette approche est compliquée, utilisons plutôt la relation d'inversion : puisque $g^2 = e$, $g = g^{-1}$. Par conséquent, chaque élément est son propre inverse. Calculons alors $ghg h$ : $$ g h g h = g h (g^{-1}) h = g h g^{-1} h $$ Mais comme $g = g^{-1}$, cela donne : $$ g h g h = g h g h $$ Cela n'aide pas directement, essayons une autre méthode : Partons de $gh = x$, nous voulons montrer que $gh = hg$. Sachant que $x^2 = e$ aussi. Considérons : $$ (gh)^2 = g h g h = e $$ Multipliant à gauche par $g$ et à droite par $h$, on obtient : $$ g g h g h h = g e h \Rightarrow g^2 h g h^2 = g h $$ Étant donné $g^2 = e$ et $h^2 = e$ : $$ e \, h g \, e = g h \Rightarrow h g = g h $$ Donc, pour tous $g, h \in G$, $gh = hg$. Donc $G$ est abélien. 3. **Montrer que $H \cap aH = \emptyset$ :** Supposons qu'il existe $x \in H \cap aH$. Alors $x \in H$ et $x \in aH$, donc il existe $h_1 \in H$ tel que $$ x = a h_1 $$ Puisque $x \in H$, on peut écrire $$ a h_1 \in H \Rightarrow a \in H h_1^{-1} = H $$ Mais $a \notin H$ par hypothèse, contradiction. Donc $H \cap aH = \emptyset$. 4. **Montrer que $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$ :** On doit vérifier que ce sous-ensemble est stable par la loi de groupe et contient l'inverse de ses éléments. Soit $x,y \in H \cup aH$. Il y a 4 cas : - Si $x,y \in H$, alors $xy \in H$ car $H$ est un sous-groupe. - Si $x \in H$, $y \in aH$, alors $y = a h$ avec $h \in H$, et $$x y = x a h = a (a^{-1} x a) h$$ Or, puisque $G$ est abélien, $a^{-1} x a = x$ donc $$x y = a x h \in a H$$ - Si $x \in aH$, $y \in H$, alors $x = a h_1$ et $$x y = a h_1 y = a (h_1 y) \in a H$$ - Si $x,y \in aH$, alors $x = a h_1$, $y = a h_2$, et $$x y = a h_1 a h_2 = a a h_1 h_2 = e h_1 h_2 = h_1 h_2 \in H$$ Car $a^2 = e$ et $h_1 h_2 \in H$. De plus, l'inverse de $x \in H$ est dans $H$. L'inverse de $x = a h \in aH$ est $x^{-1} = h^{-1} a^{-1} = h^{-1} a$, donc aussi dans $aH$. Donc $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$. 5. **Conclusion :** - $G$ est un groupe abélien où $g^2 = e$ pour tout $g \in G$. - Pour tout élément $\bar{x} \in H$, $\bar{x} \star \bar{x} = \bar{e}$, chaque élément de $H$ est d'ordre 2. - L'ensemble $H \cup aH$ forme un sous-groupe propre. --- **Résumé** 1. $G$ est abélien. 2. $R$ est une relation d'équivalence (cité dans le contexte). 3. $H$ muni de $\star$ est un groupe abélien. 4. Tout élément de $H$ vérifie $\bar{x} \star \bar{x} = \bar{e}$, c'est-à-dire est d'ordre 2.